狭義のフーリェ級数
1 狭義のフーリェ級数展開
$\quad 区間 \ [-\pi,\ \pi]\ において \ \ \{1,\ \cos nx,\ \sin nx\}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ は直交系をなし、\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx,\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx\}\ \ は$
$\quad 正規直交系となります。\quad (このことについては($正規直交系$)をご覧ください。)$
$\quad ここでは、f(x)\ は \ 2\pi\ を周期とする、区分的になめらか(ある区間で有限個の点を除いて \ C^1\ 級のこと)な$
$\quad 周期関数とします。$
\[c_0=(\varphi_0,f)=(\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\ f)=\int _{-\pi}^{\pi} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x)dx =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}f(x)dx \] \[c_{2n-1}=(\varphi_{2n-1},f)=(\cfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}},\ f)=\int _{-\pi}^{\pi} \cfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}f(x)dx =\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx \] \[c_{2n}=(\varphi_{2n},f)=(\cfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}},\ f)=\int _{-\pi}^{\pi} \cfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}f(x)dx =\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx \] $よって$
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\sum_{n=0}^{\infty} c_n\varphi_n \\ \\ &=&c_0\varphi_0+\sum_{n=1}^{\infty} c_n\varphi_n \\ \\ &=&c_0\varphi_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (c_{2n-1}\varphi_{2n-1}+c_{2n}\varphi_{2n}) \\ \\ &=&\big(\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}f(x)dx \big) \times \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big\{ \big(\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx \big) \times \cfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}+ \big(\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx \big) \times \cfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}\Big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{\pi}f(x)dx + \sum_{n=1}^{\infty} \Big\{\big (\cfrac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx\big)\cos nx + \big(\cfrac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx \big)\sin nx \Big\}\\ \end{eqnarray*}
\[a_0=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx ,\qquad a_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx , \qquad b_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx を(狭義の)フーリェ係数といい、\] \[f(x)=\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx) \ \ を \ f(x)\ の(狭義の)フーリェ級数展開といいます。\]
$例1 \quad 右図のグラフのような「ノコギリ波」のフーリェ級数展開を$
$\qquad 求めてみましょう。$
$\quad f(x)\ は周期 \ 2\pi \ の周期関数で f(x)=x \quad (-\pi \leqq x < \pi)$
$\quad f(x)\ は奇関数だから \quad a_0=0,\quad a_n=0$
\begin{eqnarray*}
b_n
&=&\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nxdx\\
&=&\cfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nxdx\\
&=&\cfrac{2}{\pi}\big[x(-\cfrac{1}{n}\cos nx)\big]_0^{\pi}- \cfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\big(-\cfrac{1}{n}\big)\cos nxdx\\
&=&\cfrac{2}{\pi}\cdot \pi(-\cfrac{1}{n}\cos n\pi) + \cfrac{2}{n\pi}\big[\cfrac{1}{n}\sin nx \big]_0^{\pi}\\
&=&-\cfrac{2}{n}(-1)^n \\
&=&\cfrac{2}{n}(-1)^{n+1}
\end{eqnarray*}
$したがって$
$\quad f(x)=2\sin x -\sin 2x +\cfrac{2}{3}\sin 3x -\cfrac{2}{4}\sin 4x + \cdots $
$右図のグラフは、初めの第 \ 1\ 項(基本波)はオレンンジ色、$
$第 \ 2\ 項(第2高調波)までの和は赤色、第 \ 3\ 項(第3高調波)までの和は$
$緑色、第 \ 4\ 項(第4高調波)までの和は青色で示してあります。$
$だんだんノコギリ歯に近づいていくのがわかります。$
$フーリェ級数で項を多くとればとるほど、和は \ f(x)\ に近づくことは$
広義のフーリェ級数$をご覧ください。$
2 パーセバルの等式の利用
\[f(x)\ のフーリェ級数が収束し、その和が \ f(x)\ に等しくなる必要十分条件は \quad ||f||^2=\sum_{i=1}^\infty c_i^2 \] $これを\quad パーセバルの等式といいますが、$広義のフーリェ級数$をご覧ください。$
$このとき、f(x)\ のフーリェ展開式において$
\[f(x)=\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\cfrac{\sqrt{2\pi}a_0}{2} \times \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}+\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{\pi}a_n \times \cfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}} + \sqrt{\pi}b_n\ \times \cfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}})\] $\qquad c_0=\cfrac{\sqrt{2\pi}a_0}{2} ,\quad c_{2n-1}=\sqrt{\pi}a_n ,\quad c_{2n}=\sqrt{\pi}b_n \quad だから$
\[||f||^2=\sum_{n=1}^\infty c_n^2 =\cfrac{\pi}{2}a_0^2+\sum_{n=1}^\infty (\pi a_n^2 +\pi b_n^2)\] $すなわち、広義のパーセバルの等式を狭義のフーリェ級数に適用すると$
\[\cfrac{1}{\pi}||f||^2=\cfrac{a_0^2}{2} +\sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)\]
$応用例 \ 1$
$\quad ノコギリ波 \quad f(x)=x \quad (-\pi \leqq x < \pi) \quad は周期 \ 2\pi \ の周期関数で,$
$このフーリェ級数展開は \quad a_0=0,\ \ a_n=0,\ \ b_n=\cfrac{2}{n}(-1)^{n+1} \ \ でした。$
\[一方 ||f||^2=\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\big[\cfrac{x^3}{3}\big]_{-\pi}^{\pi}=\cfrac{2}{3}\pi^3\] $\quad したがって$
\[\cfrac{1}{\pi} \times \cfrac{2}{3}\pi^3 =\sum_{n=1}^\infty \big\{\cfrac{2}{n}(-1)^{n+1}\big\}^2\] \[\cfrac{2}{3}\pi^2 =4\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2}\] \[\therefore \ \ \sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\pi^2}{6}\]
$\quad これは、リーマンの \ \ \zeta \ 関数$
$\qquad \zeta(p)=\dfrac{1}{1^p}+\dfrac{1}{2^p}+ \cdots +\dfrac{1}{n^p}+\cdots $
$\quad で、p=2\ の場合です。 他の求め方については(\ $$\zeta(2)の値$$\ )をご覧ください。$
$例2 \quad 右図のグラフのような「矩形波」のフーリェ級数展開を$
$\qquad 求めてみましょう。$
$\quad f(x)\ は周期 \ 2\pi \ の周期関数で$
\[
f(x)=
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
-1 \quad (-\pi \leqq x < 0)\\
1 \qquad (0 \leqq x <\pi)\\
\end{array} \right.
\]
$\quad f(x)\ は奇関数だから \quad a_0=0,\quad a_n=0$
\begin{eqnarray*}
b_n
&=&\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\\
&=&\cfrac{1}{\pi}\big(-\int_{-\pi}^0 \sin nxdx + \int_0^{\pi}\sin nxdx \big)\\
&=&\cfrac{1}{n\pi}\big(\big[\cos nx\big]_{-\pi}^0 - \big[\cos nx\big]_0^{\pi}\big)\\
&=&\cfrac{2}{n\pi}(1-\cos n\pi)\\
&=&\left\{ \begin{array}{l}
\cfrac{4}{n\pi} \hspace{4em}(n=2k-1)\\
0 \hspace{5em}(n=2k)\\
\end{array} \right.
\end{eqnarray*}
$したがって$
$\quad f(x)=\cfrac{4}{\pi}(\sin x +\cfrac{1}{3}\sin 3x +\cfrac{1}{5}\sin 5x + \cdots )$
$ここで、x=\cfrac{\pi}{2} \quad を代入すると \quad f(\cfrac{\pi}{2})=1 \quad だから$
$\qquad 1=\cfrac{4}{\pi}(\sin \cfrac{\pi}{2} +\cfrac{1}{3}\sin \cfrac{3\pi}{2}x +\cfrac{1}{5}\sin \cfrac{5\pi}{2} + \cdots )$
\[1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} + \cdots = \sum _{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\cfrac{\pi}{4}\]
$これを \ ライプニッツの級数 \ あるいは \ グレゴリーの級数 \ といいます。$
$\hspace{3em} (この級数については($ライプニッツ(グレゴリー)級数$)をご覧ください。)$
$応用例 \ 2$
\[\quad 矩形波 \quad
f(x)=
\hspace{1em}
\left\{ \begin{array}{l}
-1 \quad (-\pi \leqq x < 0)\\
1 \qquad ( 0 \leqq x < \pi)\\
\end{array} \right.
\]
\[\quad は周期 \ 2\pi \ の周期関数で,このフーリェ級数展開は \quad a_0=0,\ \ a_n=0,\
b_n=
\left\{ \begin{array}{l}
\cfrac{4}{n\pi} \hspace{2em}(n=2k-1)\\
0 \hspace{3em}(n=2k)\\
\end{array} \right.
\]
$\ \ でした。$
\[一方 ||f||^2=\int_{-\pi}^0 (-1)^2dx+ \int_0^{\pi} 1^2dx =\big[x\big]_{-\pi}^0 + \big[x\big]_0^{\pi}=2\pi\]
$\quad したがって$
$\quad \cfrac{1}{\pi} \times 2\pi =\big(\cfrac{4}{\pi}\big)^2\big(\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+ \cfrac{1}{5^2}+\cdots \big)$
\[\therefore \ \ \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+ \cfrac{1}{5^2}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{(2n-1)^2}= \cfrac{\pi^2}{8}\]
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