$\hspace{2em} \zeta(2)$ の値


$\quad リーマンの \zeta$ 関数  \[ \zeta(p)=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+ \cdots +\frac{1}{n^p}+\cdots \hspace{10em}\] $\hspace{3em} は  p>1  のとき収束し、p \leqq 1$  では発散する。

証明は省略します


 誠に個人的な話で恐縮ですが、小生が大学2年の解析学演習で収束の証明を発表したところ、
$先生から\ p=2\ のときの値はいくらかと問われ、答えられなかったのを覚えています。$

 その後、いろいろな場面でこの値に出会うことになりますが、このようなことがあって、
私にとっては思い出深い値の一つです。

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\pi^2}{6} \hspace{18em}\] を4通りの方法で求めてみます。


  1. 三角関数の漸化式の利用

  2. $y=\sin^{-1}x$ のマクローリン展開の利用

  3. フーリェ級数の利用

  4. $\sin z$ の無限乗積利用





メインメニュー に戻る