2　$y=\sin^{-1}x$ のマクローリン展開の利用


$(1)\quad y=\sin^{-1}x$ 　の満たす微分方程式


$\hspace{2em} y'=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 　より

$\hspace{2em} \sqrt{1-x^2}y'=1$

両辺を$x$で微分して
$\hspace{2em} \cfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}y'+\sqrt{1-x^2}y''=0$

$\hspace{2em}\therefore \quad (1-x^2)y''-xy'=0$

これを $n$回微分すると

$\hspace{2em} \{(1-x^2)y^{(n+2)}+_nC_1(1-x^2)'y^{(n+1)}+_nC_2(1-x^2)''y^{(n)}\}-\{xy^{(n+1)}+_nC_1x'y^{(n)}\}=0$

$\hspace{2em} (1-x^2)y^{(n+2)}-2nxy^{(n+1)}-n(n-1)y^{(n)}-xy^{(n+1)}-ny^{(n)}=0$

$\hspace{2em} \therefore (1-x^2)y^{(n+2)}-(2n+1)xy^{(n+1)}-n^2y^{(n)}=0 \hspace{15em}(1)$


$(2)\quad y=\sin^{-1}x$ 　のマクローリン展開


$\hspace{2em}(1)式にx=0 を代入して　 y^{(n+2)}(0)=n^2y^{(n)}(0)$

$\hspace{2em} y(0)=0$ だから　$y^{(2)}(0)=y^{(4)}(0)= \cdots =0$

$\hspace{2em} y'(0)=1 だから$
$\hspace{2em} y^{(3)}(0)=1^2$
$\hspace{2em} y^{(5)}(0)= 3^2y^{(3)}(0)=1^2\ 3^2$
$\hspace{7em} \vdots$
$\hspace{2em} y^{(2n+1)}(0)=1^2\ 3^2 \cdots (2n+1)^2$

$よって$
\begin{eqnarray*} \sin^{-1}x &=& f(0)+ \cfrac{f'(0)}{1!} x + \cfrac{f''(0)}{2!}x^2+ \cdots \hspace{29em}\\ \\ &=&\cfrac{1}{1!}\ x+\cfrac{1^2}{3!}\ x^3+\cfrac{1^2\ 3^2}{5!}\ x^5+\cfrac{1^2\ 3^2\ 5^2}{7!}\ x^7+ \cdots\\ \\ &=&\cfrac{1}{1}\ \cfrac{x}{1}+\cfrac{1}{2}\ \cfrac{x^3}{3}+ \cfrac{1}{2}\ \cfrac{3}{4}\ \cfrac{x^5}{5}+\cfrac{1}{2}\ \cfrac{3}{4}\ \cfrac{5}{6}\ \cfrac{x^7}{7}+\cdots\\ \end{eqnarray*}

\[(3)\quad I=\int_0^1\cfrac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx \ \ の値\hspace{41em}\]
\[J=\int_0^1\cfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx　について \hspace{30em}\] $\hspace{8em} \ x=\sin \theta $ 　とおくと
$\hspace{8em} dx=\cos \theta d\theta \quad x:0 \rightarrow 1 　のとき　\theta: 0 \rightarrow \cfrac{\pi}{2}$ \begin{eqnarray*} J &=&\int_0^{\cfrac{\pi}{2}}\cfrac{\sin^{2n-1}\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\cos\theta d\theta　\hspace{30em}\\ &=&\int_0^{\cfrac{\pi}{2}}\sin^{2n-1}\theta d\theta \\ &=&\cfrac{2n-2}{2n-1} \cfrac{2n-4}{2n-3} \cdots \cfrac{2}{3}\\ &=&\cfrac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\\ \end{eqnarray*}
したがって
\begin{eqnarray*} I &=&\int_0^1\cfrac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx \hspace{34em}\\ &=&\int_0^1\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \big(\cfrac{1}{1}\ \cfrac{x}{1}+\cfrac{1}{2}\ \cfrac{x^3}{3}+\cfrac{1}{2}\ \cfrac{3}{4}\ \cfrac{x^5}{5}+\cfrac{1}{2}\ \cfrac{3}{4}\ \cfrac{5}{6}\ \cfrac{x^7}{7}+\cdots \big)dx \\ &=&\int_0^1\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \sum_{n=1}^\infty \cfrac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\ \cfrac{x^{2n-1}}{2n-1} dx \\ &=&\sum_{n=1}^\infty \cfrac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\ \cfrac{1}{2n-1}\int_0^1\cfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx \\ &=&\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{(2n-1)^2} \\ &=&\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \cdots \\ \end{eqnarray*}

$一方$
\[I=\int_0^1\cfrac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx \quad は \hspace{31em}\] $\hspace{8em} t=\sin^{-1}x$ 　とおくと
$\hspace{8em} dt=\cfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad x:0 \rightarrow 1 　のとき　 t:0 \rightarrow \cfrac{\pi}{2} 　だから$ \[I=\int_0^{\cfrac{\pi}{2}}tdt=\cfrac{\pi^2}{8} \hspace{28em}\] よって

$\hspace{8em} \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \cdots =\cfrac{\pi^2}{8}$

\begin{eqnarray*} S &=&\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+ \cfrac{1}{4^2}+ \cdots \hspace{28em}\\ &=&\big(\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \cdots \big)+\big(\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cfrac{1}{6^2}+ \cdots \big)\\ &=&\big(\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \cdots \big)+\cfrac{1}{2^2}\big(\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+ \cdots \big)\\ &=&\cfrac{\pi^2}{8}+\cfrac{1}{4}S\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{8em} \therefore \cfrac{3}{4}S=\cfrac{\pi^2}{8}$

$\hspace{8em} S=\cfrac{\pi^2}{6}$

\[\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\pi^2}{6}\hspace{24em}\]




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