広義のフーリェ級数


1　広義のフーリェ級数展開

\[関数 \ f(x)\ が、区間 \ [a,\ b]\ 上の正規直交系 \ \ \{\varphi_n(x)\}\ \ によって、f=\sum_{i=0}^{\infty} c_i\varphi_i \ \ とあらわされるとき\] $\hspace{3em} (直交系については($正規直交系$)をご覧ください。)$

\begin{eqnarray*} (\varphi_n,f) &=&(\varphi_n, c_0\varphi_0+ c_1\varphi_1+ \cdots c_n\varphi_n+\cdots )\\ \\ &=&(\varphi_n, c_0\varphi_0) + (\varphi_n,c_1\varphi_1)+ \cdots + (\varphi_n, c_n\varphi_n)+\cdots \\ \\ &=&c_n(\varphi_n ,\varphi_n)\\ \\ &=&c_n \end{eqnarray*} $\quad したがって$
\[\qquad c_n=(\varphi_n,f)=\int _a^b f(x)\varphi_n(x)dx \] $\quad より、係数 \ c_n \ が求められるが \ f(x)\ のこのような表現を（広義の）フーリェ級数展開といいます。$


$\quad なお、フーリェ係数 \ c_n\ は、\alpha_n\ がいろいろな値をとったとき、$
\[||f-\sum_i \alpha_i\varphi_i||^2=\int_a^b \big\{f(x)-\sum_i \alpha_i\varphi_i(x)\big\}^2dx　を最小にする値です。\] $\hspace{3em} (このことについては($最小二乗近似$)をご覧ください。)$


2　フーリェ級数の項数による近似の差


$\quad \varepsilon_m=f-f_m \ \ とおくと$

\begin{eqnarray*} ||\varepsilon_{m+1}||^2 &=&||f-f_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m - c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m||^2-2(f-f_m,c_{m+1}\varphi_{m+1})+ ||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m||^2-2(c_{m+1}\varphi_{m+1}+c_{m+2}\varphi_{m+2}+\cdots ,\ c_{m+1}\varphi_{m+1})+ ||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m||^2-2(c_{m+1}\varphi_{m+1},\ c_{m+1}\varphi_{m+1})+ ||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m||^2-2||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 + ||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||f-f_m||^2-||c_{m+1}\varphi_{m+1}||^2 \\ \\ &=&||\varepsilon_m ||^2-||c_{m+1}||^2 \\ \end{eqnarray*}
$\quad ||\varepsilon_m ||^2 - ||\varepsilon_{m+1}||^2=||c_{m+1}||^2 \geqq 0 \quad だから \quad ||\varepsilon_m || \geqq ||\varepsilon_{m+1}|| $

$\quad つまり、フーリェ級数で項を多くとればとるほど、和は \ f(x)\ に近づくということです。$


3　ベッセルの不等式

\[定理1 \qquad ||f||^2 \geqq \sum_{i=1}^\infty c_i^2 \qquad (ベッセルの不等式)\]

$(証明)$

$\quad ある \ i\ (i=1,\ 2,\ \cdots \ n)\ に対して、直交性により \quad (\varphi _i , \ \varphi _{n+1})=0, \ \ (\varphi _i , \ \varphi _{n+2})=0, \ \cdots \ \ だから$
\[\varphi_i \ は \ \ \sum_{i=n+1}^\infty c_i\varphi_i \ \ に直交する。\] \[\sum_{i=n+1}^\infty c_i\varphi_i =f-f_n \quad だから \quad \varphi_i \perp f-f_n\] \[\varphi_i \ \ の一次結合をとって \quad \sum_{i=1}^n c_i\varphi_i \perp (f-f_n) \qquad \therefore \ \ f_n \perp (f-f_n)\] $\qquad f=f_n+(f-f_n) 　\quad だから \quad ||f||^2=||f_n||^2+||f-f_n||^2$

\[また \quad ||f_n||^2=||c_1\varphi _1+c_2\varphi _2+ \cdots +c_n\varphi _n||^2 =\sum_{i=1}^n c_i^2||\varphi_i||^2 =\sum_{i=1}^n c_i^2 \quad だから\] \[||f||^2=\sum_{i=1}^n c_i^2+||f-f_n||^2 \hspace{8em}(1) \hspace{20em}\] \[||f-f_n||^2 \geqq 0 \quad より \quad ||f||^2 \geqq \sum_{i=1}^n c_i^2 \] \[n\ は任意の自然数だから \quad ||f||^2 \geqq \sum_{i=1}^\infty c_i^2 \]

4　パーセバルの等式

$定理2 \qquad パーセバルの等式$
\[f(x)\ のフーリェ級数が収束し、その和が \ f(x)\ に等しくなる必要十分条件は \quad ||f||^2=\sum_{i=1}^\infty c_i^2 \]

$(証明)$

\[ベッセルの不等式の証明の(1) \ より \quad ||f-f_n||^2 = ||f||^2-\sum_{i=1}^n c_i^2 \] $\qquad n \rightarrow \infty \quad とすると$
\[\quad [||f-f_n|| \rightarrow 0 \ \Longleftrightarrow \ ||f||^2 = \sum_{i=1}^ \infty c_i^2 \] $\quad すなわち \ f(x)\ のフーリェ級数が収束し、その和が \ f(x)\ に等しくなる必要十分条件は$
\[\quad ||f||^2=\sum_{i=1}^\infty c_i^2 \]

$パーセバルの等式が成り立つとき、正規直交系 \ \{\varphi_n\}\ は完備(完全)であるといいます。$



ページの先頭へ↑



フーリェ級数メニュー　に戻る


メインメニュー　に戻る