正規直交系
$区間 \ [a,\ b]\ において、関数 \ f(x),\ g(x)\ が積分可能であるとき、$
\[(f,\ g) = \int_a^bf(x)g(x)dx \] $は内積の公理をみたす。(内積については($内積$)をご覧ください。)$
$そこでとくに、(f,\ g)=0 \ \ のとき、区間\ [a,\ b]\ において直交するという。$
$関数の集合 \{\varphi_n(x) \} \ \ (n=1,2, \cdots) \ があって、そのうちの任意の２つが \ [a,\ b] \ で直交するとき、$
$\{\varphi_n(x)\} \ \ は直交系をなすという。$
\[||f||= \sqrt{( f,f )}= \left\{\int_a^b|f(x)|^2dx\right\}^{\small{\cfrac{1}{2}}}\]
$を二乗平均ノルムといい、||f||=1のとき、fは正規化されているという。$
$(ノルムについては($ノルムと距離$)をご覧ください。)$
$直交系をなす各関数 \varphi_n(x) が正規化されているとき、正規直交系をなすという。$
$例1$
$ \ \ 区間 \ [0,\ 1]\ において \ \ \varphi_1(x)=1,\quad \varphi_2(x)=ax+b \ \ が直交系をなすような \ a,\ b\ を求めてみましょう。$
\[\int _0^1 \varphi_1 \varphi_2dx=0 \quad より \quad \int _0^1 (ax+b)dx=0\] $\qquad \big[\cfrac{ax^2}{2}+bx\big]_0^1=0 \qquad \cfrac{a}{2}+b=0 \qquad b=-\cfrac{a}{2}$
$\qquad a=2 \ \ とおくと \ \ b=-1 \qquad よって \varphi_2(x)=2x-1$
$\qquad \varphi_2 を正規化すると$
\[||\varphi_2||^2=\int_0^1(2x-1)^2dx=\big[\dfrac{(2x-1)^3}{6}\big]_0^1=\cfrac{1}{3} \qquad \therefore ||\varphi_2||=\cfrac{1}{\sqrt{3}}\]
$よって正規直交系は \quad \{1,\ \sqrt{3}(2x-1)\} $
$例2$
$\ \ 区間 \ [0,\ 1]\ において \ \ \varphi_1(x)=1,\quad \varphi_2(x)=2x-1,\quad \varphi_3(x)=ax^2+bx+c \ \ が直交系をなすような \ a,\ b,\ c\ を$
$\ \ 求めてみましょう。$
\[\int _0^1 \varphi_1 \varphi_3dx=0 \quad より \quad \int _0^1 (ax^2+bx+c)dx=0\] $\hspace{5em} \cfrac{a}{3}+\cfrac{b}{2}+c=0 \hspace{10em}(1)$
\[\int _0^1 \varphi_2 \varphi_3dx=0 \quad より \quad \int _0^1 (2x-1)(ax^2+bx+c)dx=0\] \[\int _0^1 \{2ax^3+(-a+2b)x^2+(2c-b)x-c \}dx=0\] $\hspace{5em} \cfrac{a}{2}+\cfrac{-a+2b}{3}+\cfrac{2c-b}{2}-c=0 \qquad \therefore \ b=-a$
$(1)に代入して \qquad c=\cfrac{a}{6}$
$よって \qquad \varphi_3(x)=ax^2-ax+\cfrac{a}{6}$
$a=6 \ \ とおくと \ \ \varphi_3(x)=6x^2-6x+1$
$\varphi_3 を正規化すると$
\[||\varphi_3||^2=\int _0^1(6x^2-6x+1)^2dx=\int _0^1(36x^4+36x^2+1-72x^3-12x+12x^2)dx=\cfrac{1}{5}\] $\qquad \therefore \ ||\varphi_3||=\cfrac{1}{\sqrt{5}}$
$よって正規直交系は \quad \{1,\ \sqrt{3}(2x-1),\ \sqrt{5}(6x^2-6x+1)\}$
$区間 \ [-1,\ 1]\ における直交系に、ル・ジャンドルの多項式がありますが、これについては後日にします。$
$例3$
$\ \ 区間 \ [-\pi,\ \pi]\ において \ \ \{1,\ \cos nx,\ \sin nx\}\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ は直交系をなし、\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\ \cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx,\ \cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx\}\ は$
$\ \ 正規直交系となります。$
$(1)\quad 1\ \ との積について$
\[\int _{-\pi}^{\pi}1^2dx=\big[x\big]_{-\pi}^{\pi}=2\pi\] \[\int _{-\pi}^{\pi}\cos nxdx=\big[\cfrac{1}{n}\sin nx\big]_{-\pi}^{\pi}=0 \] \[\int _{-\pi}^{\pi}\sin nxdx=\big[-\cfrac{1}{n}\cos nx\big]_{-\pi}^{\pi}=0 \]
$\quad あるいは \quad \sin x \ \ は奇関数だから \ \ 0$
$(2) \quad \cos mx \ \ と \ \ \cos nx \ \ の積について$
$\quad $(i)$\ \ m=n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\cos ^2nxdx=\cfrac{1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}(1+\cos 2nx)dx=\cfrac{1}{2}\big[x+\cfrac{1}{2n}\sin 2x\big]_{-\pi}^{\pi}=\pi\] $\quad $(ii)$\ \ m \ne n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nxdx=\cfrac{1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}\{\cos(m+n)x+\cos(m-n)x\}dx=\cfrac{1}{2}\big[\cfrac{1}{m+n}\sin(m+n)x+\cfrac{1}{m-n}\sin(m-n)x\big]_{-\pi}^{\pi}=0\]
$(3) \quad \sin mx \ \ と \ \ \sin nx \ \ の積について$
$\quad $(i)$\ \ m=n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\sin ^2nxdx=\cfrac{1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}(1-\cos 2nx)dx=\cfrac{1}{2}\big[x-\cfrac{1}{2n}\sin 2x\big]_{-\pi}^{\pi}=\pi\] $\quad $(ii)$\ \ m \ne n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nxdx=-\cfrac{1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}\{\cos(m+n)x-\cos(m-n)x\}dx=\cfrac{1}{2}\big[\cfrac{1}{m+n}\sin(m+n)x-\cfrac{1}{m-n}\sin(m-n)x\big]_{-\pi}^{\pi}=0\] $(4)\ \quad \cos mx \ \ と \ \ \sin nx \ \ の積について$
$\quad $(i)$\ \ m=n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\cos nx \sin nxdx=\int _{-\pi}^{\pi}\cfrac{1}{2}\sin 2x=\cfrac{1}{2}\big[\cfrac{1}{2}\cos 2x\big]_{-\pi}^{\pi}=0\] $\quad $(ii)$\ \ m \ne n \ \ のとき$
\[\int _{-\pi}^{\pi}\cos mx \sin nxdx=\cfrac{1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}\{\cos(m+n)x+\cos(m-n)x\}dx=\cfrac{1}{2}\big[\cfrac{1}{m+n}\sin(m+n)x+\cfrac{1}{m-n}\sin(m-n)x\big]_{-\pi}^{\pi}=0\]
$\quad あるいは \quad \cos nx \sin nx \ \ は奇関数だから \ \ 0$
$以上より、\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}},\ \cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cos nx,\ \cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\sin nx\}\ \ は正規直交系となります。$
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