ノルムと距離
1 ノルム
$関数空間(ベクトル空間)の要素 \ x,\ y\ に対して、正または0(非負といいます)の実数 \ ||x||\ が定まり$
$\quad (1)\ \ ||x|| \geqq 0,\qquad ||x||=0 \Longleftrightarrow x=0$
$\quad (2)\ \ ||\alpha x||=|\alpha|||x|| \quad (\alpha は実数)$
$\quad (3)\ \ ||x+y|| \leqq ||x||+||y|| $
$をみたすとき、||x||をxのノルムといいます。$
$例1$
$区間 \ [0,\ 1]\ で連続な関数x(t)に対して$
\[||x||=\sup_{0 \leqq t \leqq 1} |x(t)|\]
$と定めると||x||はノルムとなる。$
$(証明)$
$(1),(2)は明らかなので、(3)を示します。$
$z=x+y \ \ とおくと$
$\quad |z(t)|=|x(t)+y(t)| \leqq |x(t)|+|y(t)| \leqq ||x||+||y||$
$これは \ [0,\ 1]\ のすべての実数tについて成りたつから、|z(t)|の上限(sup)についても成りたつ。$
$\quad \therefore ||z|| \leqq ||x||+||y||$
$よって ||x+y|| \leqq ||x||+||y||$
$例2\ \ 2乗平均ノルム$
$関数f(x),g(x)は区間 [a,b]で積分可能とすると$
\[( f,\ g)=\int_a^bf(x)g(x)dx\] $は内積の公理をみたすから(内積については($内積$)をご覧ください。)$
$内積をもとに、\quad ||f||=\sqrt{( f,\ f)} \quad よりノルムをつくることができます。$
\[||f||= \sqrt{( f,f )}= \left\{\int_a^b|f(x)|^2dx\right\}^{\small{\cfrac{1}{2}}}\] $を2乗平均ノルムといいます。$
$とくに、( f,\ g)=0 \ \ のとき \ f(x)とg(x)は区間 \ [a,\ b]\ で直交するといいます。$
$関数の集合 \ \{\varphi_i(x)\}\ の任意の2つの関数が直交するとき、直交系をなすといいます。$
$また、||f||=1 \ \ のとき、f\ は正規化されているといいます。$
$直交系\{\varphi_i\}の各関数 \ \varphi_i \ が正規化されているとき、正規直交系といいます。$
2 距離
$2つのベクトルx,yに対して、非負の実数d(x,y)が定まり$
$(1)\ \ d(x,y) \geqq 0,\qquad d(x,y) =0 \Longleftrightarrow x=y$
$(2)\ \ d(x,y)=d(y,x)$
$(3)\ \ d(x,y)+d(y,z) \geqq d(x,z) $
$をみたすとき、d(x,y)をxとyの距離といいます。$
$とくに、(3)は三角不等式とよばれています。$
3 ノルムと距離
$d(x,y)=||x-y||\ \ で定めると$
$(2)について$
$\quad ||-z||=|-1|||z||=||z|| \quad だから \quad z=x-y \quad とおくと$
$\quad d(x,y)=||x-y||=||-(y-x)||=||y-x||=d(y,x)$
$(3)について$
$\quad d(x,z)=||x-z||=||x-y+y-z|| \leqq ||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(y,z)$
$したがって、ノルム空間は距離空間になります。$
$こうして、代数的なベクトルがノルムづけることによって数列の収束、極限を考える位相空間に発展していきます。$
メインメニュー に戻る