ライプニッツ(グレゴリー)級数
\[\sum _{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}- \cdots =\cfrac{\pi}{4}\]
$\quad S_n=1-x^2+x^4- \cdots +(-1)^{n-1}x^{2(n-1)}\ \ は、公比 \ \ -x^2,\ 項数 \ n\ の等比級数だから$
$\quad S_n=\cfrac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}=\cfrac{1-(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}=\cfrac{1}{1+x^2}+\cfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{1+x^2}$
$したがって$
\[\int_0^1S_ndx=\int_0^1\big\{\cfrac{1}{1+x^2}+\cfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{1+x^2}\big\}dx\]
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\int_0^1\big(1-x^2+x^4- \cdots +(-1)^{n-1}x^{2(n-1)}\big)dx\\ &=&\Big[x-\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{x^5}{5}- \cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{x^{2n-1}}{2n-1}\Big]_0^1\\ &=&1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}- \cdots + \cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\\ \end{eqnarray*} \[右辺第 \ 1\ 項を \ I_1\ \ とおくと \quad I_1=\int _0^1\cfrac{dx}{1+x^2}\ \ で\quad x=\tan \theta \quad とおくと \quad dx=\cfrac{d\theta}{\cos ^2\theta} \qquad \begin{array}{c|c} x & \hspace{1em} 0 \ \rightarrow 1 \quad \\ \hline \theta & \ 0 \rightarrow \cfrac{\pi}{4} \\ \end{array} \] \[I_1=\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{1+\tan ^2 \theta} \cdot \cfrac{d\theta}{\cos ^2\theta} =\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{4}}} d\theta =\cfrac{\pi}{4}\]
$あるいは$
\[I_1=\int _0^1\cfrac{dx}{1+x^2}=\big[\tan ^{-1} x\big]_0^1=\tan ^{-1}1=\cfrac{\pi}{4}\]
\[右辺第 \ 2\ 項を \ I_2\ \ とおくと \quad I_2=\int _0^1 \cfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{1+x^2}dx=(-1)^{n+1}\int _0^1 \cfrac{x^{2n}}{1+x^2}dx\]
$\qquad 0 \leqq x \leqq 1 \quad だから \quad 0 < \cfrac{1}{1+x^2} \leqq 1 \qquad \therefore 0 < \cfrac{x^{2n}}{1+x^2} \leqq x^{2n}$
\[よって \quad I_2 < (-1)^{n+1}\int _0^1 x^{2n} dx =(-1)^{n+1}\big[\cfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\big]_0^1 =\cfrac{(-1)^{n+1}}{2n+1} \] $\quad \therefore \ \ 0 < |I_2| < \cfrac{1}{2n+1}$
$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \cfrac{1}{2n+1} \longrightarrow 0 \quad だから、はさみうちの原理により \quad I_2 \longrightarrow 0$
$したがって$
\[\sum _{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}- \cdots =\cfrac{\pi}{4}\]
$これを、ライプニッツの級数 \ あるいは \ グレゴリーの級数 \ といいます。$
$また、この級数はフーリェ級数を用いても導くことができますので、($狭義のフーリェ級数$)をご覧ください。)$
$なお$
\[\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cos (2n-1)xdx=\big[\cfrac{\sin (2n-1)x}{2n-1}\big]_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} =\cfrac{\sin \dfrac{2n-1}{2}\pi}{2n-1}=\cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\] $したがって$
\[\sum _{n=1}^{\infty} \big(\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cos (2n-1)xdx\big)=\sum _{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1} =1-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}- \cdots =\cfrac{\pi}{4}\]
$ここにも、ライプニッツの級数があらわれます。$
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