n次元球の体積
$V_n(r) \propto r^n \ であることは使ってよいでしょう。$
$係数は \ n \ の関数となるでしょうから、 k(n) \ とおくと、V_n(r)=k(n)r^n の形になります。$
$V_3(r)とV_4(r)の求め方からわかるように$
\begin{eqnarray*} V_{n+1}&=&\int_{-r}^r V_n(\sqrt{r^2-x^2})dx \hspace{24em}\\ &=&\int_{-r}^r k(n)(r^2-x^2)^{\cfrac{n}{2}}dx \\ &=&k(n)r^n\int_{-r}^r (1-\cfrac{x^2}{r^2})^{\cfrac{n}{2}}dx \\ &=&2k(n)r^n\int_0^r (1-\cfrac{x^2}{r^2})^{\cfrac{n}{2}}dx \\ \end{eqnarray*} $\hspace{2em} x^2=r^2y とおくと 2xdx=r^2dy だから$
$\hspace{2em} 2dx=\cfrac{r^2}{x}dy=\cfrac{r^2}{r\sqrt{y}}dy=ry^{-\frac{1}{2}}dy $
\begin{eqnarray*} \therefore V_{n+1}(r)&=&k(n)r^{n+1}\int_0^1 (1-y)^{\cfrac{n}{2}} y^{-\cfrac{1}{2}}dy \hspace{22em}\\ \\ &=&k(n) \ B(\cfrac{n}{2}+1,\cfrac{1}{2})r^{n+1}\\ \end{eqnarray*} $\hspace{16em}$ ベータ関数参照
また
$\hspace{3em} V_{n+1}(r)=k(n+1)r^{n+1} だから \quad k(n+1)=k(n)\ B(\cfrac{n}{2}+1,\cfrac{1}{2}) $
\begin{eqnarray*} \cfrac{k(n+1)}{k(n)}&=&B(\cfrac{n}{2}+1,\cfrac{1}{2}) \hspace{29em}\\ \\ &=&\cfrac{\Gamma(\cfrac{n}{2}+1)\Gamma(\cfrac{1}{2})}{\Gamma(\cfrac{n}{2}+1+\cfrac{1}{2})} \\ \\ &=&\cfrac{\Gamma(\cfrac{1}{2})\Gamma(\cfrac{n}{2}+1)}{\Gamma(\cfrac{n+1}{2}+1)} \\ \\ &=&\Gamma(\cfrac{1}{2})\cfrac{\cfrac{n}{2} \ \Gamma(\cfrac{n}{2})}{\cfrac{n+1}{2}\Gamma(\cfrac{n+1}{2})} \\ \end{eqnarray*} $\hspace{3em} \therefore \cfrac{n+1}{2}\Gamma(\cfrac{n+1}{2})k(n+1)=\Gamma(\cfrac{1}{2})\cfrac{n}{2} \ \Gamma(\cfrac{n}{2})k(n) $
$\hspace{3em} p_n=\cfrac{n}{2} \ \Gamma(\cfrac{n}{2})k(n) とおくと $
$\hspace{3em} p_{n+1}=\Gamma(\cfrac{1}{2})p_n =\sqrt{\pi}\ p_n$
$もともと V_n(r)=k(n)r^n とおいたから \ n=1 のときは V_1(r)=k(1)r$
$V_1(r) は長さ 2r の線分になることに注意して$
$\hspace{3em} 2r=k(1)r \hspace{1em} \therefore k(1)=2$
$\hspace{3em} p_1=\cfrac{1}{2} \ \Gamma(\cfrac{1}{2})k(1)=\cfrac{1}{2} \times \sqrt{\pi} \times 2=\sqrt{\pi} $
$\hspace{8em}$ ベータ関数とガンマ関数の性質参照
$\hspace{3em} \{p_n\} は初項\sqrt{\pi} ,公比 \ \sqrt{\pi} \ の等比数列だから$
$\hspace{3em}p_n = \sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi}^{n-1} =\pi ^{\cfrac{n}{2}}$
よって
$\hspace{3em} k(n)=\cfrac{p_n}{\cfrac{n}{2}\Gamma(\cfrac{n}{2})}=\cfrac{\pi ^{\cfrac{n}{2}}}{\Gamma(\cfrac{n}{2}+1)} $
$\hspace{3em} \therefore V_n(r)=\cfrac{\pi ^{\cfrac{n}{2}}}{\Gamma(\cfrac{n}{2}+1)} r^n $
$これが \ n \ 次元球の体積公式です。ガンマ関数を使うと意外と簡単に表されます。$
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