ベータ関数
$\hspace{3em} \alpha , \beta を正の定数とすると$
\[B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx \hspace{5em}\]
$\hspace{3em}$ は収束する。これをベータ関数という。
（証明）
$f(x)=x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx とおくと$
(i) $\ \alpha,\beta \geqq 1$ ならば普通の定積分である。
(ii) $\ 0 < \alpha < 1 ならば f(x) は \ x=0 \ $ が不連続点であるが、
$ \hspace{2em} 0 < 1-\alpha < 1 だから 0 \leqq x^{1-\alpha}f(x)=(1-x)^{\beta-1} $
$ \hspace{2em} (1-x)^{\beta-1} \ は[0,1] \ において連続だから最大値 \ K_1をもつ。$
\[よって 0 \leqq x^{1-\alpha}f(x) \leqq K_1 だから \ \ 定理２より \ \ \int_0^1f(x)dx は収束する。\hspace{14em} \]
(iii) $\ 0 < \beta < 1 ならば f(x) は \ x=1 \ $ が不連続点であるが、
$ \hspace{2em} 0 < 1-\beta < 1 だから 0 \leqq x^{1-\beta}f(x) = x^{\alpha-1} $
$ \hspace{2em} x^{\alpha-1} \ は[0,1] \ において連続だから最大値 \ K_2をもつ。$
\[よって 0 \leqq x^{1-\beta}f(x) \leqq K_2 だから \ \ 定理1より \ \ \int_0^1f(x)dx は収束する。 \hspace{14em}\]
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