ベータ関数とガンマ関数の性質
$\hspace{3em}(1)\quad \Gamma(1)=1$
\[\Gamma(1)=\int _0^\infty e^{-x}x^0 dx =\left[-e^{-x}\right]_0^\infty=1\hspace{25em}\]
$\hspace{3em}(2)\quad \Gamma(\cfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
\[\Gamma(\cfrac{1}{2})=\int _0^\infty e^{-x}x^{-\cfrac{1}{2}}dx=\int _0^\infty \cfrac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx \hspace{24em}\] $ \hspace{4em} x=t^2 とおくと dx=2tdt$
\[\Gamma(\cfrac{1}{2})=\int _0^\infty \cfrac{e^{-t^2}}{t}・2tdt=2\int _0^\infty e^{-t^2}dt=2 ×\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}\hspace{16em}\]
$\hspace{3em}(3)\quad \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
\begin{eqnarray*} \Gamma(s+1) &=&\int _0^\infty e^{-x}x^s dx \hspace{30em}\\ &=&\big[-e^{-x}x^s\big]_0^\infty+ \int _0^\infty se^{-x}x^{s-1}dx\\ &=&s\int _0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx \\ \\ &=&s\Gamma(s)\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{3em}(4)\quad \Gamma(n+\cfrac{1}{2} )=\cfrac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi} \hspace{2em} (n は整数)$
\begin{eqnarray*} \Gamma(n+\cfrac{1}{2}) &=&(n+\cfrac{1}{2}-1)\Gamma(n+\cfrac{1}{2}-1)\hspace{22em}\\ &=&(n+\cfrac{1}{2}-1)(n+\cfrac{1}{2}-2)\Gamma(n+\cfrac{1}{2}-2)\\ &\vdots & \\ &=&(n+\cfrac{1}{2}-1)(n+\cfrac{1}{2}-2) \cdots (n+\cfrac{1}{2}-n)\Gamma(n+\cfrac{1}{2}-n)\\ &=&\cfrac{2n-1}{2} ・\cfrac{2n-3}{2} \cdots \cdots \cfrac{2n-(2n-1)}{2}\ \Gamma(\cfrac{1}{2})\\ &=&\cfrac{1}{2^n}(2n-1)(2n-3) \cdots \cdots(2n-(2n-1))\sqrt{\pi}\\ &=&\cfrac{1}{2^n} ・ \cfrac{(2n)!}{(2n)(2n-2) \cdots \cdots (2n-(2n-2))} \sqrt{\pi}\\ &=&\cfrac{1}{2^n} ・ \cfrac{(2n)!}{2^n n(n-1) \cdots \cdots 1} \sqrt{\pi}\\ &=&\cfrac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{3em}(5)\quad \cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}=B(\alpha,\beta)$
\begin{eqnarray*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) &=&\int _0^\infty e^{-x}x^{\alpha-1}dx・\int _0^\infty e^{-y}y^{\beta-1}dx \hspace{19em}\\ \\ &=&\int _0^\infty \int _0^\infty e^{-x-y}x^{\alpha-1}y^{\beta-1}dxdy \\ \end{eqnarray*} $\hspace{2em} ここで、変数変換 (x,y) \rightarrow (u,v) \hspace{2em} x=uv , \ y=(1-u)v$ をおこなうと
$\hspace{5em} x+y=v だから v>0$
$ \hspace{5em} u=\cfrac{x}{v}=\cfrac{x}{x+y} \quad 0 < x < x+y だから 0 < u < 1$
$\hspace{5em}J= \left| \begin{array}{rr} v & u \\ -v & 1-u \\ \end{array} \right| =v(1-u)+uv=v$
$\hspace{2em}したがって$
\begin{eqnarray*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) &=&\int _0^1\int _0^\infty e^{-v}(uv)x^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}v^{\beta -1} \ vdudv \hspace{20em}\\ \\ &=&\int _0^1\int _0^\infty u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1} e^{-v}v^{\alpha + \beta -1}dudv\\ \\ &=&\int _0^1u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1} du \int _0^\infty e^{-v}v^{\alpha + \beta -1}dv\\ \\ &=&B(\alpha,\beta) \Gamma(\alpha+\beta)\\ \end{eqnarray*}
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