変分法


1 はじめに


$平面上、あるいは空間において2点を結ぶ最短距離の曲線は直線となることは猫でも知っている。$
$ では、「それを証明しろ」といわれると、「証明しなくても誰しもが経験的に知っている事実$
$です」と答えてしまう。そもそもこれは証明できるものなのか。$
$落ち着いて考えると、あたりまえのことだけに難しい。$

$この疑問に答えるのが変分法です。$


2 変分とは


$定積分のように、関数に実数を対応させるものを汎関数といいます。$
\[I=\int _a ^b e^y dx  は汎関数で、y=y(x) \ を \ \delta y \ だけ微小変化させた\\ I'=\int _a ^b e^{y+\delta y} dx=\int _a ^b e^y e^{\delta y}dx =\int _a ^b e^y \big(1+\delta y + \cfrac{(\delta y)^2}{2}+ \cdots \big )dx\] $で、\delta y をyの変分、Iの増分のうち、\delta yの一次の項を汎関数Iの変分といい、\delta Iとかきます。$

\[この例では  \delta I=I'-I=\int _a ^b e^y \delta y dx  です。\]

2 オイラー・ラグランジュの方程式


$y=y(x) を \delta y だけ微小変化させたとき、$

(i)$\ 端点a,bは動かさないものとしますので、\delta y(a)=0,\quad \delta y(b)=0 \ \ です。$

(ii)$\ y'も変化しますので、これを\delta y' とかきます。(2次以上の導関数についても同様ですが、$
$\hspace{2em} ここでは1次導関数までしか扱いません。)$

$f(x,y,y')の変分は全微分と同様に$

$\qquad \delta f=\cfrac{\partial f}{\partial y}\delta y+\cfrac{\partial f}{\partial y'}\delta y'$

$となります。$
\[一般に、I=\int _a ^b f(x,y,y') dx  の変分は \delta I=\int _a ^b \delta f(x,y,y') dx  となりますので\] \[\delta I=\int _a ^b \big(\cfrac{\partial f}{\partial y}\delta y+\cfrac{\partial f}{\partial y'}\delta y'\big)dx\]
$また、変化した関数をY(x)とすると$
$\qquad \delta y=Y(x)-y(x)  だから$
$\qquad \cfrac{d}{dx}(\delta y)=\cfrac{d}{dx}\big(Y(x)-y(x)\big)=Y'(x)-y'(x)=\delta y'$
$したがって$
\[\delta I=\int _a ^b \{\cfrac{\partial f}{\partial y}\delta y+\cfrac{\partial f}{\partial y'}\cfrac{d}{dx}(\delta y)\}dx\] $第2項を部分積分すると$
\[第2項 = \Bigl[\cfrac{\partial f}{\partial y'}\delta y\Bigr] _a ^b - \int _a ^b \cfrac{d}{dx}\cfrac{\partial f}{\partial y'}\delta y\ dx =-\int _a ^b \cfrac{d}{dx}\cfrac{\partial f}{\partial y'}\delta y\ dx \] $よって$
\[\delta I=\int _a ^b \big(\cfrac{\partial f}{\partial y}-\cfrac{d}{dx}\cfrac{\partial f}{\partial y'}\big)\delta y\ dx \] $汎関数Iが極値をとるならば \delta I=0 \ \ だから$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial y}-\cfrac{d}{dx}\cfrac{\partial f}{\partial y'}=0 \hspace{10em} (1)$


$また、f(x,y,y')において$
\begin{eqnarray*} \cfrac{df}{dx}&=&\cfrac{\partial f}{\partial x }+ \cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dx} + \cfrac{\partial f}{\partial y'} \cfrac{dy'}{dx}\\ &=&\cfrac{\partial f}{\partial x} + \cfrac{d}{dx}\big(\cfrac{\partial f}{\partial y'}\big)y' + \cfrac{\partial f}{\partial y'} \cfrac{dy'}{dx} \quad (第2項に(1)を代入)\\ &=&\cfrac{\partial f}{\partial x }+ \cfrac{d}{dx}\big(y' \cfrac{\partial f}{\partial y'}\big)\\ \end{eqnarray*} $ゆえに$

$\qquad \cfrac{\partial f}{\partial x}-\cfrac{d}{dx}\big(f-y' \cfrac{\partial f}{\partial y'}\big)=0 \hspace{10em} (2)$

$とも表される。(1),(2)をオイラー・ラグランジュの方程式といいます。$
$どちらを使うかは問題のf(x,y,y')の形をみて判断します。$


$\qquad オイラー・ラグランジュの方程式$

\[I=\int _a ^b f(x,y,y') dx  が極値をとる条件は\]
$\quad (1)\ \ \cfrac{\partial f}{\partial y}-\cfrac{d}{dx}\cfrac{\partial f}{\partial y'}=0$

$\quad (2)\ \ \cfrac{\partial f}{\partial x}-\cfrac{d}{dx}\big(f-y' \cfrac{\partial f}{\partial y'}\big)=0 $


$いくつか具体的な問題にあたってみましょう$


$\hspace{3em}(1)\quad $2点間の最短距離

$\hspace{3em}(2)\quad $懸垂線

$\hspace{3em}(3)\quad $最速降下曲線





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