テーラー展開による不定形の極限値(2)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \big(\cfrac{1}{\sin x}-\cfrac{1}{x}\big) \quad の値\]
$\hspace{5em} 通常の求め方は($不定形の極限値(4) $をご覧ください)$
$\hspace{5em} 高次の項は$ランダウの記号 $\ o\ で表現します。$
$\quad \sin x \ \ をマクローリン展開すると \quad \sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$したがって$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{\sin x}-\cfrac{1}{x} &=&\cfrac{x-\sin x}{x\sin x}\\ \\ &=&\cfrac{x}{\sin x} \times \cfrac{x- \sin x }{x^2}\\ \\ &=&\cfrac{x}{\sin x} \times \cfrac{x-(x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3))}{x^2}\\ \\ &=&\cfrac{x}{\sin x} \times \big(\cfrac{x}{6}+o(x)\big)\\ \end{eqnarray*}
$\qquad x \longrightarrow 0 \quad のとき \quad \cfrac{x}{\sin x} \longrightarrow 1 ,\qquad \cfrac{x}{6} + o(x) \longrightarrow 0 \quad だから$
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \big(\cfrac{1}{\sin x}-\cfrac{1}{x}\big)=0\]
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