ランダウの記号
\[関数 \ f(x),\ g(x)\ に対して \quad \lim_{x \rightarrow a} \cfrac{f(x)}{g(x)}=0 \ \ が成りたつとき、f(x)=o(g(x)) \ \ と書き、o\ をランダウの\] $\quad スモール・オーといい、f(x)\ は \ g(x)\ に比べて無視できるといいます。$
$\quad さらに \quad x \longrightarrow a \quad のとき \quad \ f(x) \longrightarrow 0,\quad g(x) \longrightarrow 0 \quad ならば、f(x)\ は \ g(x)\ より高次の無限小といいます。$
\[なお、\quad \lim_{x \rightarrow a} \cfrac{f(x)}{g(x)} \leqq C\ \ (定数)\ \ が成りたつとき、f(x)=O(g(x))\ \ と書き、O\ をランダウの\] $\quad ビッグ・オー\ といいます。これは \ f(x)\ が \ g(x)\ で押さえられるということです。$
$\quad f(x)\ が \ x=0\ を含むある開区間で \ C^n \ 級であるとき$
$\qquad f(x)=f(0)+\cfrac{f'(0)}{1!}x+\cfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots +\cfrac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} +\cfrac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n (0 < \theta <1)$
$\quad をみたす \ \theta \ が存在します。これを \ f(x)\ のマクローリン展開といいます。$
$このとき$
$\qquad f(x)=f(0)+\cfrac{f'(0)}{1!}x+\cfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cfrac{f^{(n)}(\theta x)-f^{(n)}(0)}{n!}x^n \quad より$
\[\lim _{x \rightarrow 0}\cfrac{\dfrac{f^{(n)}(\theta x)-f^{(n)}(0)}{n!}x^n }{x^n}=\lim _{x \rightarrow 0}\cfrac{f^{(n)}(\theta x)-f^{(n)}(0)}{n!}=0\] $よって$
$\qquad \cfrac{f^{(n)}(\theta x)-f^{(n)}(0)}{n!}x^n =o(x^n) \quad とおけるから$
$\quad f(x)=f(0)+\cfrac{f'(0)}{1!}x+\cfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \cfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) \qquad \big(o(x^n) \ は \ x^n \ より高次の無限小 \big)$
$例$
$(1) \quad e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+ \cdots +\cfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$(2) \quad \sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
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