不定形の極限値(3)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} \quad の値\]
$2018年の東京大学の入試問題で、設問には直接関わらないがグラフの様子を調べるのに必要でした。$
$($2018東京大学(理系)問題1 $はこちらです)。$
$\quad 0 < x < \cfrac{\pi}{2} \quad で \quad 0 < \sin x < x \quad が成りたつので(証明は省略します)$
$\quad \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x}<\cfrac{x - x\cos x }{\sin ^2 x}=\cfrac{x(1- \cos x) }{\sin ^2 x} =\cfrac{x \cdot 2\sin ^2 \dfrac{x}{2}}{\sin ^2 x}=\cfrac{1}{2}x\big(\cfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\big)^2\big(\cfrac{x}{\sin x}\big)^2$
$\quad x \longrightarrow +0 \quad のとき \quad \cfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}} \longrightarrow 1 ,\qquad \cfrac{x}{\sin x} \longrightarrow 1 \quad だから \qquad \cfrac{1}{2}x\Big(\cfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\Big)^2\big(\cfrac{x}{\sin x}\big)^2 \longrightarrow 0$
$また$
$\quad f(x)=\sin x -x\cos x \quad とおくと$
$\quad f'(x)=\cos x -(\cos x -x\sin x)=x\sin x > 0$
$よって f(x)\ は区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{2})\ で単調増加するから \quad f(x) > f(0)=0$
$\qquad \therefore \sin x -x\cos x >0 \quad よって \quad \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} >0$
\[したがって、はさみうちの原理により \quad \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} =0\]
$なお、テーラー展開による別解は$テーラー展開による不定形の極限値(1) $をご覧ください$
$また、ロピタルの定理を用いると$
\begin{eqnarray*} & &\lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} \\ \\ &=&\lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\cos x -(\cos x -x\sin x)}{2\sin x \cos x}\\ \\ &=&\lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{x\sin x}{2\sin x \cos x}\\ \\ &=&\lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{x}{2\cos x}\\ \\ &=&0\\ \end{eqnarray*}
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