テーラー展開による不定形の極限値(1)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} \quad の値\]
$\hspace{5em} 通常の求め方は($不定形の極限値(3) $をご覧ください)$
$\hspace{5em} 高次の項は$ランダウの記号 $\ o\ で表現します。$
$\quad \sin x \ \ と \ \ \cos x \ \ をマクローリン展開すると$
$\qquad \sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\cfrac{x^2}{2!}+ o(x^2)$
$したがって$
$\quad 分子=\sin x -x\cos x =x-\cfrac{x^3}{3!}+o(x^3)-x(1-\cfrac{x^2}{2!}+o(x^2))=\cfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
$よって$
\begin{eqnarray*} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x} &=&\cfrac{x^2}{\sin ^2 x} \times \cfrac{\sin x - x\cos x }{x^2}\\ &=&\cfrac{x^2}{\sin ^2 x} \times \cfrac{\cfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2}\\ \\ &=&\big(\cfrac{x}{\sin x}\big)^2 \times \big(\cfrac{x}{3} + o(x) \big)\\ \end{eqnarray*}
$\qquad x \longrightarrow +0 \quad のとき \quad \cfrac{x}{\sin x} \longrightarrow 1 ,\qquad \cfrac{x}{3} + o(x) \longrightarrow 0 \quad だから$
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{\sin x - x\cos x }{\sin ^2 x}=0\]
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