不定形の極限値(2)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \ \ x \log x \quad の値\]
$2021年の九州大学の入試問題で、グラフを図示するのに、この極限値を証明なしでつかってよいという$
$出題がありました。($2021九州大学(理系)問題3 $はこちらです)$
$この極限値は、ロピタルの定理を使えば直ちに \ 0\ であることがわかりますが、次のように証明できます。$
$(証明)$
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log (x+1)}{x}=0 \quad を利用します。\] $\hspace{3em}(これについては$不定形の極限値(1) $を参考にしてください)。$
$\quad \log x \ \ は単調増加だから \quad \log x < \log (x+1)$
$\quad x > 1 \quad ならば \quad \log x > 0 \quad だから \quad 0 < \cfrac{\log x}{x} <\cfrac{\log (x+1)}{x}$
$\quad x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \cfrac{\log (x+1)}{x} \longrightarrow 0 \quad だからはさみうちの原理により$
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x}=0 \]
$\quad \cfrac{1}{x}=t \quad とおくと \quad x \rightarrow \infty \quad のとき \quad t \rightarrow +0$
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x}= \lim_{t \rightarrow +0} t\log \cfrac{1}{t}=- \lim_{t \rightarrow 0} t\log t\]
\[左辺=0 \quad だから \quad \lim_{t \rightarrow 0} t\log t=0\]
$\quad t\ をあらためて \ x\ とおきかえて$
\[\lim_{x \rightarrow 0} x\log x=0\]
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