不定形の極限値(1)


\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log (x+1)}{x} \quad の値\]
$2019年の大阪大学の入試問題で、ある極限値を求めるのに、この極限値を証明なしでつかってよいという$
$出題がありました。($2019大阪大学(理系)問題1 $はこちらです)。$

$この極限値は、ロピタルの定理を使えば直ちに \ 0\ であることがわかりますが、その証明は手持ちの専門書や$
$参考書にあたったのですが、見つかりませんでした。$

$そこで、その証明を載せます。$


$(1)\quad x>0 \ \ のとき \ \ 　e^x > 1+x+\cfrac{x^2}{2} \quad が成りたつ。$

$(証明)$

$\quad f(x)=e^x -(1+x+\cfrac{x^2}{2}) \quad とおくと$
$\quad f'(x)=e^x -1- x$

$\quad f''(x)=e^x -1$

$\quad x>0 のとき　e^x > 1 \quad だから \quad 　f''(x) > 0$

$\quad f'(x) は単調増加となり \quad f'(x) > f'(0)=e^0-1=0 $

$やはり \quad f(x)も単調増加となるから \quad f(x) > f(0)=e^0-1=0$

$したがって　e^x >1+x+\cfrac{x^2}{2}$


$(2)\quad x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　\cfrac{\log (x+1)}{x} \longrightarrow 0 $

$(証明)$

$\quad e^x >1+x+\cfrac{x^2}{2} \quad より$

$\quad e^x -1 >x+\cfrac{x^2}{2}$

$\quad \cfrac{e^x-1}{x} >1+\cfrac{x}{2}$

$両辺とも正だから、逆数をとって$

$\qquad 0 < \cfrac{x}{e^x-1} < \cfrac{1}{1+\cfrac{x}{2}}$

$x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　\cfrac{1}{1+\cfrac{x}{2}} \longrightarrow 0 \quad だから$
$はさに打ちの原理より \qquad \cfrac{x}{e^x-1} \longrightarrow 0$

$\quad e^x-1=t \quad とおくと \qquad \cfrac{x}{e^x-1}=\cfrac{\log(t+1)}{t}$

$\quad x \longrightarrow \infty \quad のとき \qquad t \longrightarrow \infty \quad だから$
\[\lim _{x \rightarrow \infty} \cfrac{x}{e^x-1}=\lim_{t \rightarrow \infty} \cfrac{\log(t+1)}{t}=0\] $したがって$
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log (x+1)}{x}=0\]

$なお、 x > 0 \ \ のとき \quad 0 < \cfrac{\log x}{x} < \cfrac{\log (x+1)}{x} \quad より$

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log (x+1)}{x}=0　\quad だから、はさみ打ちの原理より\]
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x}=0　\]

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