フーリェ積分定理



$フーリェ級数で、周期関数の周期を無限に大きくすることでフーリェ変換の考えに至りましたが、$

$\hspace{3em} (これについては \quad $ フーリェ変換・逆変換$をご覧ください。)$

$この方法は、どちらかというと工学的な考え方です。$

$ここでは、もう少し数学っぽく考えてみたいと思います。$

$スタートは次の公式です。$

\[(1)\quad \int _0^{\infty}\cfrac{\sin x}{x}dx=\cfrac{\pi}{2} \hspace{5em} (2)\quad \lim _{p \rightarrow \infty} \int _0^a\cfrac{\sin px}{x}dx=\cfrac{\pi}{2} \]
$\hspace{3em} (これについては \quad $ 定積分の計算1$をご覧ください。)$

$(2)式より$
\[\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a f(x+0)\cfrac{\sin pt}{t}dt= \cfrac{f(x+0)}{\pi}\lim _{p \rightarrow \infty}\int _0^a \cfrac{\sin pt}{t}dt=\cfrac{1}{2}f(x+0)\]
$したがって$

\[\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a \big\{f(x+t)-f(x+0)\big\}\cfrac{\sin pt}{t}dt= \lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a \cfrac{f(x+t)-f(x+0)}{t} \cdot \sin ptdt \quad において\]
$h(t)=\cfrac{f(x+t)-f(x+0)}{t} \quad は \ \ t=0\ で不定形であるが、t \longrightarrow +0 \quad のとき \quad h(t) \longrightarrow f'(x) \quad となり$

$f(x)\ は区分的になめらかであるから有限値である。よって$ リーマン・ルベーグの定理$\ \ より$

\[\lim _{p \rightarrow \infty}\int _0^a h(t) \sin ptdt=0\]
$したがって$

\[\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a \big\{f(x+t)-f(x+0)\big\}\cfrac{\sin pt}{t}dt=0\] \[\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a f(x+t)\cfrac{\sin pt}{t}dt =\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a f(x+0)\cfrac{\sin pt}{t}dt=\cfrac{1}{2}f(x+0)\]
$同様にして$
\[\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a f(x-t)\cfrac{\sin pt}{t}dt =\lim _{p \rightarrow \infty} \cfrac{1}{\pi}\int _0^a f(x-0)\cfrac{\sin pt}{t}dt=\cfrac{1}{2}f(x-0)\]
$この \ 2\ つをつかうと次の定理が証明できます。$


$フーリェ積分定理$
\[\quad f(x) \ が区分的になめらかで \ \ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx < \infty \quad (絶対積分可能)ならば\] \[\qquad \cfrac{1}{2}\big\{f(x+0)+f(x-0)\big\}=\cfrac{1}{\pi}\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\cos \omega(x-t)dtd\omega\]


$(証明)$

\[|\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\cos u (x-t)dt| \leqq \int _{-\infty}^{\infty}|f(t)\cos u (x-t)|dt=\int _{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty \]
$この積分は一様かつ絶対収束するので、 次の \ u \ と \ t\ の積分順序は交換可能である。$

\begin{eqnarray*} & &\int _0^ U \big\{\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\cos u (x-t)dt\big\}d u \\ \\ &=&\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\big\{\int _0^ U \cos u (x-t)d u \big\}dt\\ \\ &=&\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\Big[\cfrac{\sin u (x-t)}{x-t}\Big]_0^ U dt\\ \\ &=&\int _{-\infty}^{\infty}f(t) \cdot \cfrac{\sin U (x-t)}{x-t}dt\\ \\ &=&\int _{-\infty}^x f(t) \cdot \cfrac{\sin U (x-t)}{x-t}dt + \int _x^{\infty}f(t) \cdot \cfrac{\sin U (x-t)}{x-t}dt \hspace{10em}(1)\\ \\ \end{eqnarray*} \[(1)の第1項は、x-t= \omega \quad とおくと \quad -dt=d \omega \qquad \begin{array}{c|c} t & -\infty \ \ \rightarrow x \quad \\ \hline \omega & \infty \rightarrow 0 \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} & &(1)の第1項\\ \\ &=&\int _{\infty}^0 f(x- \omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{ \omega }(-d\omega )\\ \\ &=&\int _0^{\infty} f(x-\omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{ \omega }d \omega \\ \\ &=&\int _0^a f(x- \omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{ \omega }d \omega + \int _a^{\infty} f(x- \omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{ \omega }d \omega \qquad (ただし \ \ a > 0)\\ \end{eqnarray*}
$\qquad U \longrightarrow \infty \quad とすると、この第1項 \longrightarrow \cfrac{\pi}{2}f(x-0)$

$この第2項の絶対値をとると$
\begin{eqnarray*} & &|\int _a^{\infty} f(x- \omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{ \omega }d \omega |\\ \\ &\leqq&\int _a^{\infty}|f(x- \omega ) \cdot \cfrac{\sin U \omega }{\omega } |d \omega \\ \\ &\leqq&\int _a^{\infty}|f(x- \omega )| \cdot |\cfrac{1}{| \omega |}d \omega \\ \\ & & \quad 0 < a \leqq \omega \quad だから \quad  \cfrac{1}{a} \geqq \cfrac{1}{ \omega }\\ \\ &\leqq&\int _a^{\infty}|f(x- \omega )| \cdot \cfrac{1}{a}d \omega \\ \\ &=&\cfrac{1}{a} \int _a^{\infty}|f(x- \omega )|d \omega \\ \end{eqnarray*}
\[\int _a^{\infty}|f(x- \omega )|d \omega \quad は有限な値だから 十分大きな値 \ a\ に対していくらでも小さい値となる。\] $\quad よって \quad U \longrightarrow \infty \quad とすると、(1)の第 \ 1\ 項 \longrightarrow \cfrac{\pi}{2}f(x-0)$


$全く同様にして 、(1)の第 \ 2\ 項 \longrightarrow \cfrac{\pi}{2}f(x+0)$


$なお、f(x)\ が連続な点では \quad \cfrac{1}{2}\big\{f(x+0)+f(x-0)\big\}=f(x) \quad だから$

\[f(x)=\cfrac{1}{\pi}\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\cos \omega (x-t)dtd\omega \]

$さらに、これを複素数表示すると \quad \cos \omega (x-t)=\cfrac{e^{i \omega (x-t)}+e^{-i \omega (x-t)}}{2} \quad だから$

\begin{eqnarray*} f(x) &=&\cfrac{1}{2\pi}\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)\Big\{e^{i \omega (x-t)}+e^{-i \omega (x-t)}\Big\}dtd \omega \\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\Big\{\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dtd \omega + \int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega (x-t)}dtd \omega \Big\}\\ \\ & &\hspace{3em}第 \ 2\ 項で、 \omega \longrightarrow - \omega \quad とおくと\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\Big\{\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dtd\omega + \int _0^{-\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dt(-d \omega )\Big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\Big\{\int _0^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dtd u + \int _{-\infty}^0 \int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dtd \omega \Big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega (x-t)}dtd \omega \\ \\ &=&\cfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}\big(\int _{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\big)e^{i \omega x}d \omega \\ \end{eqnarray*}
$これは$ フーリェ変換・逆変換$で求めた式に一致します。$



ページの先頭へ↑



フーリェ変換メニュー に戻る


メインメニュー に戻る