定積分の計算1
\[(1)\quad \int _0^{\infty}\cfrac{\sin x}{x}dx=\cfrac{\pi}{2} \hspace{5em} (2)\quad \lim _{p \rightarrow \infty} \int _0^a\cfrac{\sin px}{x}dx=\cfrac{\pi}{2} \]
$(1)の証明$
\[\sum _{k=1}^n \cos (2k-1)x = \cfrac{\sin 2nx}{2\sin x}\] $\hspace{3em} この等式については、($sin kx ,cos kx の和$)をご覧ください。$
$\quad この両辺を積分すると$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sum _{k=1}^n \cos (2k-1)xdx\\ &=&\sum _{k=1}^n \int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\cos (2k-1)xdx\\ &=&\sum _{k=1}^n \big[\cfrac{\sin (2k-1)x}{2k-1}\big]_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\\ &=&\sum _{k=1}^n \cfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \end{eqnarray*} \[n \longrightarrow \infty とすると \sum _{k=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\cfrac{\pi}{4}\]
$\qquad これはライプニッツの級数です。値の求め方は、($ライプニッツ(グレゴリー)級数$)をご覧ください。$
\begin{eqnarray*} 右辺 &=&\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cfrac{\sin 2nx}{2\sin x}dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \big(\cfrac{1}{\sin x} - \cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{x}\big)\sin 2nx dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \big(\cfrac{1}{\sin x} - \cfrac{1}{x}\big)\sin 2nx dx + \cfrac{1}{2}\int_0^ {\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \cfrac{\sin 2nx}{x}dx\\ \\ \end{eqnarray*} $第1項について$
$\quad x \longrightarrow 0 \quad のとき \quad \cfrac{1}{\sin x} - \cfrac{1}{x} \longrightarrow 0 \quad です。 これについては、($不定形の極限値(4) $)をご覧ください。$
$\quad よって 積分可能であるから リーマン・ルベーグの定理により \quad (第1項) \longrightarrow 0 \quadとなります。$
$\qquad この定理については、($リーマン・ルベーグの定理 $)をご覧ください。$
$第2項について$
\[2nx=t \quad とおくと \quad 2ndx=dt \qquad \begin{array}{c|c} x & 0 \ \rightarrow \cfrac{\pi}{2}\\ \hline t & \ 0 \rightarrow n\pi \\ \end{array} \]
\[(第2項)=\cfrac{1}{2}\int_0^ {n\pi}\cfrac{\sin t}{\dfrac{t}{2n}} \cdot \cfrac{dt}{2n} =\cfrac{1}{2}\int_0^ {n\pi}\cfrac{\sin t}{t}dt\]
\[よって \quad n \longrightarrow \infty \quad とすると \qquad \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{1}{2}\int_0^ {\infty}\cfrac{\sin t}{t}dt\]
\[したがって \qquad \int _0^{\infty}\cfrac{\sin x}{x}dx=\cfrac{\pi}{2}\]
$\quad なお、この定積分は複素関数のコーシーの定理を用いた計算方法もありますが、また別の機会とします。$
$(2)の証明$
\[I=\int _0^{pa}\cfrac{\sin x}{x}dx \hspace{5em}①\] $において$
\[x=pt \quad とおくと \quad dx=pdt \qquad \begin{array}{c|c} x & \hspace{1em} 0 \ \rightarrow pa\\ \hline t & \ 0 \rightarrow a \\ \end{array} \]
\[I=\int _0^a\cfrac{\sin pt}{pt}\cdot pdt=\int _0^a\cfrac{\sin pt}{t}dt=\int _0^a\cfrac{\sin px}{x}dx\]
$\quad p \longrightarrow \infty \quad とすると ①式は \ (1)より \quad I \longrightarrow \cfrac{\pi}{2} \quad だから$
\[\lim _{p \rightarrow \infty} \int _0^a\cfrac{\sin px}{x}dx=\cfrac{\pi}{2}\]
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