不定形の極限値(4)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \big(\cfrac{1}{\sin x}-\cfrac{1}{x}\big) \quad の値\]
$ある定積分の値を求めるのに必要な極限値です。$
$(1) \quad x > 0 \quad のとき$
$\quad 0 < x < \cfrac{\pi}{2} \quad で \quad 0 < \sin x < x < \tan x \quad が成りたつので(証明は省略します)$
$\qquad 0 < x < \tan x \quad より \quad 0 < x < \cfrac{\sin x}{\cos x} \quad だから \quad 0 < \cos x < \cfrac{\sin x}{x}$
$よって$
\begin{eqnarray*} f(x) &=&\cfrac{x-\sin x}{x\sin x}\\ \\ &=&\cfrac{1}{\sin x}\big(1-\cfrac{\sin x}{x}\big)\\ \\ &<&\cfrac{1}{\sin x}(1-\cos x)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}} \times \big(1-(1-2\sin ^2\cfrac{x}{2})\big)\\ \\ &=&\cfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} \\ \\ &=&\tan \cfrac{x}{2}\\ \\ \end{eqnarray*}
$\quad x \longrightarrow +0 \quad のとき \quad \tan \cfrac{x}{2} \longrightarrow 0$
$f(x) > 0 \ \ だから、はさみうちの原理により \quad f(x) \longrightarrow 0$
$(2)\quad x < 0 \quad のとき$
$\qquad x=-y \quad とおくと \quad y > 0 $
$\qquad f(x)=\cfrac{1}{\sin (-y)}-\cfrac{1}{(-y)}=-(\cfrac{1}{\sin y}-\cfrac{1}{y}) \quad だから$
$\qquad x \longrightarrow -0 \quad のとき \quad y \longrightarrow +0 \quad となり、(1)より \quad f(x) \longrightarrow 0 \quad がいえます。$
$なお、テーラー展開による別解は$テーラー展開による不定形の極限値(2) $をご覧ください$
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