岡山大学(理系) 2022年　問題3


$l\ を正の実数とし、四面体 \ OABC\ において、各辺の長さを \ OA=\cfrac{1}{2}l,\ OB=OC=l,\ AB=CA=l,$
$BC=\sqrt{2}l\ \ とする。\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b},\ \vec{OC}=\vec{c}\ とし、点 \ H\ は \ \vec{OH}=\cfrac{3}{4}\vec{a}+\cfrac{1}{8}\vec{b}+\cfrac{1}{8}\vec{c}\ \ を満たすとする。$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点 \ H\ は \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ が定める平面上に存在することを示せ。$
$(2)\ \ |\vec{OH}|\ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ \angle OHB \ \ の大きさを求めよ。$
$(4)\ \ 四面体 \ OABC\ の体積 \ V\ を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ \vec{AH}=p\vec{AB}+q\vec{AC}\ \ (p,\ q \ は実数)\ \ の形に表されることを示します。$
$(2)\ \ \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\ \ の \ 2\ つずつの内積を求めておき、|\vec{OH}|^2の値を計算します。$
$(3)\ \ \vec{OH} \cdot \vec{BH}=0\ \ を示します。$
$(4)\ \ \vec{OH} \perp \vec{AH}\ を示せれば、(3)をつかって \ OH\ が高さになります。$


(1)

　
\begin{eqnarray*} \quad \vec{AH} &=&\vec{OH}-\vec{OA}\\ \\ &=&\big(\cfrac{3}{4}\vec{a}+\cfrac{1}{8}\vec{b}+\cfrac{1}{8}\vec{c}\big)-\vec{a}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{4}\vec{a}+\cfrac{1}{8}\vec{b}+\cfrac{1}{8}\vec{c}\\ \\ &=&\cfrac{1}{8}(\vec{b}-\vec{a}) + \cfrac{1}{8}(\vec{c} - \vec{a})\\ \\ &=&\cfrac{1}{8}\vec{AB} + \cfrac{1}{8}\vec{AC}\\ \end{eqnarray*} $\quad よって点 \ H\ は \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ が定める平面上に存在する。$

$\qquad (このことについては($ベクトルの分解$)を参考にしてください。)$


(2)


$\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\ \ の \ 2\ つずつの内積を求めると$

$\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\cfrac{1}{2}\big((\cfrac{l}{2})^2+l^2-l^2\big)=\cfrac{l^2}{8}$

$\quad \vec{b} \cdot \vec{c}=\cfrac{1}{2}(l^2+l^2-2l^2)=0$

$\quad \vec{c} \cdot \vec{a}=\cfrac{1}{2}\big((l^2+(\cfrac{l}{2})^2-l^2\big)=\cfrac{l^2}{8}$

$\qquad (これらの2\ 辺の内積の求め方は$三角形の2辺の内積$を参考にしてください。)$

$なお、\triangle OBC \ \ については、OB^2+OC^2=BC^2 \quad だから \quad \angle BOC=90°\ \ となり、\vec{b} \cdot \vec{c}=0$

\begin{eqnarray*} |\vec{OH}|^2 &=&\big|\cfrac{3}{4}\vec{a}+\cfrac{1}{8}\vec{b}+\cfrac{1}{8}\vec{c}\big|^2\\ \\ &=&\big|\cfrac{1}{8}(6\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\big|^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{64}(36|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+12\vec{a} \cdot \vec{b}+2\vec{b} \cdot \vec{c}+12\vec{c} \cdot \vec{a})\\ \\ &=&\cfrac{1}{64}(9l^2+l^2+l^2+\cfrac{3}{2}l^2+ 0+ \cfrac{3}{2}l^2)\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2\\ \end{eqnarray*}
$\quad \therefore \ \ |\vec{OH}|=\cfrac{\sqrt{14}}{8}l$


(3)


\begin{eqnarray*} \vec{OH} \cdot \vec{BH} &=&\vec{OH} \cdot (\vec{OH}-\vec{OB})\\ \\ &=&|\vec{OH}|^2- \vec{OH} \cdot \vec{OB}\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{b}\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6\vec{a} \cdot \vec{b} +|\vec{b}|^2 +\vec{c} \cdot \vec{b})\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6 \times \cfrac{l^2}{8} + l^2 + 0)\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}
$\quad \therefore \ \ \vec{OH} \perp \vec{BH} \quad だから \quad \angle OHB=90°$


$(別解)$

\begin{eqnarray*} |\vec{BH}|^2 &=&|\vec{OH}-\vec{OB}|^2\\ \\ &=&\big|\cfrac{3}{4}\vec{a}+\cfrac{1}{8}\vec{b}+\cfrac{1}{8}\vec{c}-\vec{b}\big|^2\\ \\ &=&\big|\cfrac{1}{8}(6\vec{a}-7\vec{b}+\vec{c})\big|^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{64}(36|\vec{a}|^2+49|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-84\vec{a} \cdot \vec{b}-14\vec{b} \cdot \vec{c}+12\vec{c} \cdot \vec{a})\\ \\ &=&\cfrac{1}{64}(9l^2+49l^2+l^2+\cfrac{21}{2}l^2+ 0+ \cfrac{3}{2}l^2)\\ \\ &=&\cfrac{50}{64}l^2\\ \end{eqnarray*}
$\quad OB^2=l^2,\ \ OH^2=\cfrac{14}{64}l^2,\ \ BH^2=\cfrac{50}{64}l^2 \quad だから \quad OB^2=OH^2+BH^2$

$\quad \triangle OHB \ \ で三平方の定理が成りたつから \quad \angle OHB=90°$


(4)


\begin{eqnarray*} \vec{OH} \cdot \vec{AH} &=&\vec{OH} \cdot (\vec{OH}-\vec{OA})\\ \\ &=&|\vec{OH}|^2- \vec{OH} \cdot \vec{OA}\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6|\vec{a}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a})\\ \\ &=&\cfrac{14}{64}l^2 - \cfrac{1}{8}(6 \times (\cfrac{l}{2})^2 + \cfrac{l^2}{8} + \cfrac{l^2}{8})\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*} $\quad \therefore \ \ \vec{OH} \perp \vec{AH} \quad よって \quad OH \perp AH \quad また、(3)より \quad 　OH \perp BH $

$\quad OH \ は、\triangle ABC \ \ 上の \ 2\ 直線 \ AH,\ BH\ に垂直だから \quad OH \ は \triangle ABC \ \ に垂直である。$

$\qquad (詳しくは$三垂線の定理$をご覧ください。)$

$\quad \triangle ABC \ \ は \ \ \angle A=90°\ \ の直角二等辺三角形だから \quad \triangle ABC=\cfrac{1}{2}AB \cdot AC=\cfrac{l^2}{2}$

$\quad よって \quad V=\cfrac{1}{3}\times \triangle ABC \times OH=\cfrac{1}{3} \times \cfrac{l^2}{2} \times \cfrac{\sqrt{14}}{8}l=\cfrac{\sqrt{14}}{48}l^3$


ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る