無限級数の収束
$数列 \ \{u_i\}\ \ (i=1,\ 2,\ \cdots)\ に対し、u_1+u_2+\cdots + u_n + \cdots \ \ を無限級数といい \ \ (単に級数ともいう)、$
\[\sum_{i=1}^{\infty} u_i \quad とかく\] $S_n=u_1+u_2+\cdots + u_n \quad を部分和といい、n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad S_n \longrightarrow S \quad となる有限確定値$
$が存在するならば、この級数は \ S\ に収束するといい、S\ を級数の和という。このとき$
\[S=\sum_{i=1}^{\infty} u_i \]
$定理 \ 1$
\[無限級数 \quad u_1+u_2+\cdots + u_n + \cdots \quad が収束するならば \quad \lim_{n \rightarrow \infty} u_n=0\]
$対偶をとって$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} u_n \ne 0 \quad ならば \quad u_1+u_2+\cdots + u_n + \cdots \quad は発散する。\]
$(注意)\ \ これは、収束するための必要条件である。$
$(証明)$
\[S=\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1} \quad だから\] \[\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty} (S_n-S_{n-1})=S-S=0\]
$例$
\[一般調和級数 (リーマンの \zeta 関数ともいいます) \quad \zeta(p)=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+ \cdots +\frac{1}{n^p}+\cdots \quad は\] \[\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n^p}=0 \quad だが、 p > 1 \ \ のとき収束し、p \leqq 1 \ \ では発散する。\]
$なお、\zeta(2)の値については($$\zeta(2)の値$$)をご覧ください。$
$定理 \ 2 \ \ コーシーの収束条件$
\[無限級数 \quad \sum_{i=1}^{\infty} u_i \quad が収束するための必要十分条件は、任意の \ \varepsilon > 0\ に対して自然数 \ N\ が存在し、\]
$p > q > N\ \ を満たす自然数 \ p,\ q\ \ に対して \quad |u_{q+1}+u_{q+2}+ \cdots + u_{p}| < \varepsilon \quad が成りたつことである。$
$(証明)$
$S_n=u_1+u_2+\cdots + u_n \quad とおくと$
$\{S_n\}\ \ が収束するならばコーシー列(基本列)になるから$
$\qquad (コーシー列については($$コーシー列$$)をご覧ください)$
$|S_p-S_q| <\varepsilon $
$\therefore \ \ |u_{q+1}+u_{q+2}+ \cdots + u_{p}| < \varepsilon $
$定理 \ 3 \ \ 収束する級数の定数倍と和$
\[無限級数 \quad \sum_{i=1}^{\infty} u_i ,\ \ \sum_{i=1}^{\infty} v_i \ \ がともに収束し、和 \ S, T\ をもつならば \quad \sum_{i=1}^{\infty} (au_i+bv_i)\ \ (a,\ b\ は実数)も収束し、\]
$和 \ \ aS+bT\ \ をもつ。$
$(証明)$
$2\ つの無限級数の部分和をそれぞれ \ S_n,\ T_n \ とすると$
\[aS_n+bT_n=a\sum_{i=1}^n u_i + b\sum_{i=1}^n v_i=\sum_{i=1}^n (au_i + b v_i) \quad だから\]
\[\sum_{i=1}^{\infty} (au_i + b v_i)=a\sum_{i=1}^{\infty} u_i + b\sum_{i=1}^{\infty} v_i=aS+bT\]
無限級数メニュー に戻る
メインメニュー に戻る