交項級数
$正項と負項が交互に並ぶ級数、$
$\quad u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots \ \ (u_i >0)\ \ を交項(交代)級数という。$
$定理 \ \ (ライプニッツの定理)$
$交項級数 \ \ u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots \ \ (u_i > 0) \ \ において$
$(1)\quad u_1 > u_2 > u_3 > \cdots > u_n > \cdots $
\[(2)\quad \lim_{n \rightarrow \infty} u_n =0 \]
$が成りたてば、この交項級数は収束する。$
$(証明)$
$偶数番目までの部分和について$
\begin{eqnarray*} S_{2n} &=&u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots + u_{2n-1}- u_{2n}\\ \\ &=&(u_1 - u_2) + (u_3 - u_4) + \cdots + (u_{2n-1}-u_{2n})\\ \end{eqnarray*} $条件(1)より、(u_{2n-1}-u_{2n}) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ はすべて正だから、\{S_{2n}\}\ は増加数列である。$
$S_{2n}=u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 -u_5) - \cdots - (u_{2n-2}-u_{2n-1})- u_{2n} \quad とすると、$
$(u_{2n-2}-u_{2n-1})\ \ (n=2,\ 3,\ \cdots )\ \ はすべて正だから \quad S_{2n} < u_1$
$よって \quad \{S_{2n}\}\ \ は上に有界な増加数列だから収束する。(ワイエルシュトラスの定理)$
$\quad (このことについては$コーシー列$をご覧ください。)$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} S_{2n} =S \quad とすると \] \[S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1} \quad において (2)より \quad \lim_{n \rightarrow \infty} u_{2n+1} =0 \quad だから \quad \lim_{n \rightarrow \infty} S_{2n+1} =S \quad となり \] \[n\ が偶数、奇数によらず \quad \lim_{n \rightarrow \infty} S_n =S\]
$例1$
$級数 \quad 1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cdots \qquad は上の定理により収束する。$
$\quad (この極限値は \ \log 2 \ ですが、$$\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k} \quad の和$$をご覧ください。)$
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