\[\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k} \quad の和\]
$調和級数 \qquad 1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+ \cfrac{1}{4}+\cdots +\cfrac{1}{n}+\cdots \quad は \ \ +\infty \ \ に発散しますが、$
$交項級数 \qquad 1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}- \cfrac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{1}{n}+\cdots \quad は収束しますのでその和を求めてみましょう。$
$\qquad 1-x+x^2-x^3+\cdots +(-x)^{n-1}=\cfrac{1-(-x)^n}{1+x}=\cfrac{1}{1+x}-(-1)^n\cfrac{x^n}{1+x}$
$両辺 \ 0\ から \ 1\ まで積分すると$
\begin{eqnarray*} 左辺 &=&\int _0^1(1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1)^{n-1}x^{n-1})dx\\ \\ &=&\Big[x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{x^n}{n}\Big]_0^1\\ \\ &=&1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}- \cfrac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{1}{n}\\ \end{eqnarray*}
\[右辺=\int _0^1 \cfrac{dx}{1+x}- (-1)^n \int _0^1 \cfrac{x^n}{1+x}dx\]
$\hspace{3em} 第1項=\big[\log(1+x)\big]_0^1=\log 2$
$\hspace{3em} 第2項は \quad 0 \leqq x \leqq 1 \quad だから \quad 0 < \cfrac{1}{1+x} \leqq 1$
\[\qquad よって \quad 0 < \int _0^1 \cfrac{x^n}{1+x}dx < \int _0^1 x^n dx =\cfrac{1}{n+1}\] $\hspace{3em} \qquad n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{1}{n+1} \longrightarrow 0 \quad だから \quad 第2項 \longrightarrow 0$
$\qquad したがって \qquad 右辺 \longrightarrow \log 2$
$よって \qquad 1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}- \cfrac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{1}{n}+\cdots =\log 2$
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