その３ ２重積分の極座標変換
\[H= \int_0^\infty e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-y^2}dy だから \hspace{15em}\] \[H^2= \big(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\big)\big( \int_0^\infty e^{-y^2}dy\big)= \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-x^2-y^2}dxdy \hspace{8em}\]
$ここで x=r\cos \theta , \ \ y=r\sin \theta $ と極座標変換すると
$\qquad (このことについては($平面極座標への変数変換$)をご覧ください)$
$\hspace{3em} x^2+y^2=r^2 , \hspace{2em} J(r,\theta)=rdrd\theta$
$\hspace{3em} 0 \leqq x , \hspace{1em} 0 \leqq y は 0 \leqq r , \quad 0 \leqq \theta \leqq \cfrac{\pi}{2} に対応するから$ \begin{eqnarray*} H^2 &=& \int_0^{\cfrac{\pi}{2}} \int_0^ \infty e^{-r^2}rdrd\theta \hspace{22em}\\ &=& \cfrac{\pi}{2} \int_0^ \infty e^{-r^2}rdr\\ &=&\cfrac{\pi}{2} \big[-\cfrac{1}{2} \ e^{-r^2}\big]_0^\infty \\ &=&\cfrac{\pi}{4} \\ \end{eqnarray*} $\hspace{5em} \therefore \ H=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
この方法でも比較的簡単に値が求まりました。
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