ガウス積分を求める方法


$定積分で \pi が出てくるときは三角関数の計算がからむことが多い。$
\[ \qquad \int_0^\infty e^{-x^2}dx = \cfrac{\sqrt{\pi}}{2} \] $はガウス積分とよばれ、解析学ばかりでなく統計学の正規分布でもお目にかかるが、この$
$定積分を求めるにも三角関数が顔を出します。$

$この積分を３通りの方法で求めてみましょう。$
　　

　

  1. 不等式で評価する方法

  2. パラメータを伴う変数変換（うますぎる方法）

  3. ２重積分の極座標変換



$なお、「ガウス積分の値」と「ベータ関数とガンマ関数」は「ｎ次元球の体積」を理解するために$
$必要な知識です。$

　


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