ガウス積分を求める方法


 定積分で $\pi$ が出てくるときは三角関数の計算がからむことが多い。 \[ \int_0^\infty e^{-x^2}dx = \cfrac{\sqrt{\pi}}{2} \] はガウス積分とよばれ、解析学ばかりでなく統計学の正規分布でもお目にかかるが、この
定積分を求めるにも三角関数が顔を出します。
 この積分を3通りの方法で求めてみましょう。   

 

  1. 不等式で評価する方法

  2. パラメータを伴う変数変換(うますぎる方法)

  3. 2重積分の極座標変換

 なお、「ガウス積分の値」と「ベータ関数とガンマ関数」は「n次元球の体積」を理解
するために必要な知識です。

 


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