その２ パラメータを伴う変数変換（うますぎる方法）
\[H= \int_0^\infty e^{-x^2}dx で \hspace{27em}\] $\hspace{3em} x=\sqrt{u} \ y と変換すると dx=\sqrt{u}\ dy だから$
\[H= \int_0^\infty e^{-uy^2} \sqrt{u}dy= \sqrt{u} \int_0^\infty e^{-uy^2} dy \hspace{19em}\] \[\int_0^\infty e^{-ux^2}dx=\cfrac{H}{\sqrt{u}} \hspace{27em}\] すると
\[\int_0^\infty e^{-(1+x^2)u}du=\big[-\cfrac{1}{1+x^2}\ e^{-(1+x^2)u}\big]_0^\infty =\cfrac{1}{1+x^2}\hspace{14em}\] $x\ で積分して$
\[\int_0^\infty \cfrac{dx}{1+x^2}=\int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(1+x^2)u}du\ dx \hspace{18em}\] $左辺は x=\tan \theta とおくと dx=\cfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$
\[左辺=\int_0^{\cfrac{\pi}{2}} \cfrac{1}{1+\tan^2\theta}・ \cfrac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_0^{\cfrac{\pi}{2}} d\theta =\cfrac{\pi}{2} \hspace{17em}\]
\begin{eqnarray*} 右辺 &=&\int_0^\infty \int_0^\infty e^{-u}\ e^{-ux^2}dudx \hspace{24em}\\ \\ &=&\int_0^\infty e^{-u} \int_0^\infty e^{-ux^2}dxdu\\ \\ &=&\int_0^\infty e^{-u} ・ \cfrac{H}{\sqrt{u}}du \\ \end{eqnarray*}
$\hspace{2em} u=s^2 とおくと du=2sds$
\begin{eqnarray*} 右辺 &=&\int_0^\infty e^{-s^2} ・ \cfrac{H}{s} ・ 2sds \hspace{25em}\\ \\ &=&2H\int_0^\infty e^{-s^2}ds\\ \\ &=&2H^2\\ \end{eqnarray*} したがって
$\hspace{5em} \cfrac{\pi}{2}=2H^2 \hspace{2em} \therefore H=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2} \hspace{2em}$
実に見事に値が求まりました。！！
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