ワイエルシュトラスの定理
\[区間 \ I\ の任意の\ x\ に対して、|f_i(x)| \leqq c_i \ \ (i=1,2,\cdots ,n)\ \ で 正項級数 \ \ \sum _{i=1}^{\infty} c_i \ が収束するならば\] \[\sum _{i=1}^{\infty} f_i(x) \ \ は一様収束かつ絶対収束する。\]
$(証明)$
\[正項級数 \ \ \sum _{i=1}^{\infty} c_i \ \ が収束するとは、部分和 \ \ T_n=\sum _{i=1}^n c_i \ \ がコーシー列となることだから\]
$(コーシー列については($コーシー列$)をご覧ください)$
\[任意に与えられた \ \varepsilon > 0\ \ に対して \ N \ が存在し、m > n > N\ \ のとき \quad |T_m -T_n|=\sum _{i=n+1}^m c_i < \varepsilon \] \[|f_i(x)| \leqq c_i \quad より \quad \sum _{i=n+1}^m |f_i(x)| \leqq \sum _{i=n+1}^m c_i < \varepsilon \]
\[S_n(x)=\sum _{i=1}^n f_i(x) \quad とおくと\] \[|S_m(x)-S_n(x)| =\big|\sum _{i=n+1}^m f_i(x)\big| \leqq \sum _{i=n+1}^m |f_i(x)|\leqq \sum _{i=n+1}^m c_i < \varepsilon \] $よって、S_n(x)\ はコーシー列となり収束する。$
$なお、N\ は任意の \ \varepsilon > 0\ に対して、 m > n > N \ \ ならば \ \ |T_m -T_n| < \varepsilon \ \ を満たす \ N\ であるから、$
$もともと \ x\ に無関係である。$
\[したがって \quad \sum _{i=1}^{\infty} f_i(x) \ \ は一様収束かつ絶対収束する。\]
\[例 \ 1 \quad \sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{\sin kx}{k^2} \]
\[\big|\cfrac{\sin kx}{k^2}\big| \leqq \cfrac{1}{k^2} \quad で \quad \sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k^2} \ \ は収束するから\]
$(このことについては($$\zeta(2)$の値$)をご覧ください。)$
\[\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{\sin kx}{k^2} \ \ は一様かつ絶対収束する\]
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