相加・相乗平均の不等式(解析編) その2
$相加・相乗平均の不等式$
$\qquad 文字はすべて正とする$
$\hspace{4em} \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geqq \large{\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}} \qquad \normalsize{ただし等号は} \quad a_1=a_2=\cdots =a_n \quad のとき$
$\qquad (代数的方法による証明は($相加・相乗平均の不等式(代数編)$)を参考にしてください。$
$予備定理$
\[関数 \ f_k(x)\ \ (k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ と \ S(x)=\sum _{k=1}^n f_k(x) \ \ がそれぞれ最小値 \ m_k \ と \ M\ をもつとき\] \[\quad \sum _{k=1}^n m_k \leqq \sum _{k=1}^n f_k(x) =S(x)\] $\quad これはすべての \ x\ について成りたつので、S(x)\ の最小値 \ M\ についても成りたつから$
\[\quad \sum _{k=1}^n m_k \leqq M\]
$(証明2)$
$\quad f_k(x)=\cfrac{a_k}{e}x - \log x \ \ (a_k > 0) \ \ を考えます。$
$\quad f_k'(x)=\cfrac{a_k}{e} - \cfrac{1}{x}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x& 0 & \cdots & \cfrac{e}{a_k} & \cdots \\ \hline f_k'(x)& & - & 0 & + & \\ \hline f_k(x)& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] $\quad f_k(x) \ は \ x=\cfrac{e}{a_k}\ で最小値 \ \ m_k=f_k(\cfrac{e}{a_k})=\cfrac{a_k}{e} \cdot \cfrac{e}{a_k}-\log \cfrac{e}{a_k}=1- \log \cfrac{e}{a_k}=\log a_k \ \ をもつ。$
$また$
\begin{eqnarray*} S(x) &=&\sum _{k=1}^n f_k(x)\\ &=&\sum _{k=1}^n \big(\cfrac{a_k}{e}x - \log x \big) \\ &=&n\big\{\cfrac{\dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k}{e}x - \log x\big\}\\ \end{eqnarray*} \[これは、f_k(x)\ で \ a_k \ \ を \ \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k \ \ と置き換えたものだから \ \ x=\cfrac{e}{\dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k}\ \ で\] \[最小値 \quad M=n\log \cfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k \quad をもつ。\] \[予備定理より \quad \sum _{k=1}^n m_i \leqq M \quad だから\] \[\qquad \sum _{k=1}^n\log a_k \leqq n\log \big(\cfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k\big)\] $\qquad \log(a_1a_2 \cdots a_n) \leqq n\log \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}$
$\qquad \cfrac{1}{n}\log(a_1a_2 \cdots a_n) \leqq \log \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}$
$\qquad \therefore \ \ \large{\sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n }} \leqq \normalsize{\cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}}$
$なお、等号は \ m_1=f_1(x),\ m_2=f_1(x),\ \cdots ,\ m_n=f_n(x) \ \ のときで、これはすべての \ x=\cfrac{e}{a_1},\ x=\cfrac{e}{a_2},\ \cdots ,\ x=\cfrac{e}{a_n}\ \ が$
$一致するときだから \quad a_1=a_2=\cdots =a_n \quad のときである。$
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