相加・相乗平均の不等式(解析編)　その1



$相加・相乗平均の不等式$

$\qquad 文字はすべて正とする$

$\hspace{4em} \cfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geqq \large{\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}} \qquad \normalsize{ただし等号は} \quad a_1=a_2=\cdots =a_n \quad のとき$



$\qquad (代数的方法による証明は($相加・相乗平均の不等式(代数編)$)を参考にしてください。$


$予備定理$
\[関数 \ f_k(x)\ \ (k=1,\ 2,\ \cdots ,\ n)\ と \ S(x)=\sum _{k=1}^n f_k(x) \ \ がそれぞれ最小値 \ m_k \ と \ M\ をもつとき\] \[\quad \sum _{k=1}^n m_k \leqq \sum _{k=1}^n f_k(x) =S(x)\] $\quad これはすべての \ x\ について成りたつので、S(x)\ の最小値 \ M\ についても成りたつから$
\[\quad \sum _{k=1}^n m_k \leqq M\]

$(証明1)$

$\quad f_k(x)=\cfrac{a_k-x}{x}+\log x \ \ (a_k > 0) \quad を考えます。$

$\quad f_k'(x)=\cfrac{-x-(a_k-x)}{x^2}+\cfrac{1}{x}=\cfrac{x-a_k}{x^2}$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x& 0 & \cdots & a_k & \cdots \\ \hline f_k'(x)& & - & 0 & + & \\ \hline f_k(x)& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \]
$\quad f_k(x)\ は \ x=a_k \ で最小値 \ \ m_k=f_k(a_k)=\log a_k \ \ をもつ。$

$また$
\begin{eqnarray*} S(x) &=&\sum _{k=1}^n f_k(x)\\ &=&\sum _{k=1}^n \big(\cfrac{a_k-x}{x}+\log x\big) \\ &=&\cfrac{1}{x}\sum _{k=1}^n (a_k-x)+ \sum _{k=1}^n \log x\\ &=&\cfrac{1}{x}\big(\sum _{k=1}^n a_k - nx \big)+ n\log x\\ &=&n\Big\{\cfrac{\big(\dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k\big)- x}{x} + \log x\Big\}\\ \end{eqnarray*} \[これは、f_k(x)\ \ で a_k\ \ を \ \dfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k \ \ と置き換えたものだから \ \ x=\cfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k \ \ で\] \[\quad 最小値 \ \ M=n\log \big(\cfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k\big)\ \ をもつ。\] \[予備定理より \quad \sum _{k=1}^n m_k \leqq M \quad だから\] \[\quad \sum _{k=1}^n\log a_k \leqq n\log \big(\cfrac{1}{n}\sum _{k=1}^n a_k\big)\] $\qquad \log a_1 + \log a_2 + \cdots + \log a_n \leqq n\log \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}$

$\qquad \cfrac{1}{n}\log(a_1a_2 \cdots a_n) \leqq \log \cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}$

$\qquad \therefore \ \ \large{\sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n }} \leqq \normalsize{\cfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}}$

$なお、等号は \ \ \ m_1=f_1(x),\ m_2=f_2(x),\ \cdots ,\ m_n=f_n(x) \ \ のときで、これはすべての \ \ x=a_1,\ x=a_2,\ \cdots ,\ x=a_n \ が$

$一致するときだから \ \ a_1=a_2=\cdots =a_n \ \ のときである。$


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