テーラー展開による不定形の極限値(4)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{x - \sin x }{x^3} \quad の値\]
$\hspace{5em} 高次の項は$ランダウの記号 $\ o\ で表現します。$
$\quad \sin x \ \ をマクローリン展開すると$
$\qquad \sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+ \cfrac{x^5}{5!}+ o(x^5) $
$したがって$
\[\cfrac{x - \sin x }{x^3}=\cfrac{x-\big(x-\cfrac{x^3}{3!}+ \cfrac{x^5}{5!}+ o(x^5)\big)}{x^3}=\cfrac{1}{6} - \cfrac{x^2}{120} + o(x^2)\]
$\qquad x \longrightarrow +0 \quad のとき \quad - \cfrac{x^2}{120} + o(x^2) \longrightarrow 0 \quad だから$
\[\hspace{2em} \lim_{x \rightarrow +0} \cfrac{x - \sin x }{x^3}= \cfrac{1}{6}\]
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