テーラー展開による不定形の極限値(3)
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{\sin x -x\cos x}{x(1-\cos x)} \quad の値\]
$\hspace{5em} 高次の項は$ランダウの記号 $\ o\ で表現します。$
$\quad \sin x \ \ と \ \ \cos x \ \ をマクローリン展開すると$
$\qquad \sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+ \cfrac{x^5}{5!}+ o(x^5),\qquad \cos x=1-\cfrac{x^2}{2!}+ \cfrac{x^4}{4!} +o(x^4)$
$したがって$
\begin{eqnarray*} & &\cfrac{\sin x -x\cos x}{x(1-\cos x)}\\ \\ &=&\cfrac{\sin x -x\cos x}{x\big(1-(1-2\sin ^2 \dfrac{x}{2})\big)}\\ \\ &=&\cfrac{\sin x -x\cos x}{2x\sin ^2 \dfrac{x}{2}}\\ \\ &=&2\Big(\cfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\Big)^2 \times \cfrac{\sin x -x\cos x}{x^3}\\ \\ &=&2\Big(\cfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\Big)^2 \times \cfrac{x-\cfrac{x^3}{3!}+ \cfrac{x^5}{5!}+ o(x^5)-x\big(1-\cfrac{x^2}{2!}+ \cfrac{x^4}{4!} +o(x^4)\big)}{x^3}\\ \\ &=&2\Big(\cfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\Big)^2 \times \cfrac{\cfrac{x^3}{3}- \cfrac{x^5}{30}+ o(x^5)}{x^3}\\ \\ &=&2\Big(\cfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}\Big)^2 \times \big(\cfrac{1}{3}- \cfrac{x^2}{30}+ o(x^2)\big)\\ \\ \end{eqnarray*}
$\qquad x \longrightarrow 0 \quad のとき \quad \cfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \longrightarrow 1 ,\qquad \cfrac{1}{3}- \cfrac{x^2}{30}+ o(x^2) \longrightarrow \cfrac{1}{3} \quad だから$
\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{\sin x -x\cos x}{x(1-\cos x)} =\cfrac{2}{3}\]
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