不定形の極限値(5)


\[\hspace{5em} \lim_{x \rightarrow \infty} xe^{-x} \quad の値 \]

$2022\ 年の早稲田大学の入試問題で、ある極限値を求めるのに、この極限値を証明なしでつかってよいという$
$出題がありました。($2022早稲田大学(理系)問題5 $はこちらです)。$


$(証明1)$

$(1)の証明で示した不等式 \quad x > 0 \quad のとき \quad 　e^x >1+x+\cfrac{x^2}{2} \quad の逆数をとって$

$e^{-x} <\cfrac{1}{1+x+\cfrac{x^2}{2}}$

$xe^{-x} <\cfrac{x}{1+x+\cfrac{x^2}{2}}$

$ 0 < xe^{-x} <\cfrac{1}{\dfrac{1}{x}+1+\cfrac{x}{2}}$

$x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　右辺 \longrightarrow 0 \quad だから$

\[はさみ打ちの原理より \quad \lim_{x \rightarrow \infty} xe^{-x}=0\]

$(証明2)$

$x \longrightarrow \infty \quad だから　明らかに \ \ x > 1 \ \ としてよい。したがって \quad \log x >0$

$よって \quad 0 < \cfrac{\log x}{x} < \cfrac{\log (x+1)}{x} $

\[不定形の極限値(1) \quad \lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log (x+1)}{x} =0 \quad だから、はさみ打ちの原理により\] \[\quad \lim_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\log x}{x} =0 \]
$x=e^t \quad とおくと \ \ \log x=t \ \ で \quad x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　t \longrightarrow \infty$

$したがって$
\[\quad \lim_{t \rightarrow \infty} \cfrac{t}{e^t}=0 \quad すなわち \quad \lim_{x \rightarrow \infty} xe^{-x}=0\]

ページの先頭へ↑



不定形の極限値メニュー　に戻る


メインメニュー　に戻る