早稲田大学(理系) 2022年 問題5
$a > 0\ を定数として、f(x)=x^a\log x \ \ とする。以下の問に答えよ。$
\[(1)\ \ \lim_{x \rightarrow +0} f(x) \ \ を求めよ。必要ならば \ \ \lim_{s \rightarrow \infty} se^{-s}=0\ \ が成り立つことは証明なしに用いてよい。\]
$(2)\ \ 曲線 \ y=f(x)\ の変曲点が \ x\ 軸上に存在するときの \ a\ の値を求めよ。さらにそのとき \ y=f(x)\ の$
$\quad グラフの概形を描け。$
$(3)\ \ t > 0\ に対して、曲線 \ y=f(x)\ 上の点(t,\ f(t))\ における接線を \ l\ とする。l\ が \ y\ 軸の負の部分と交わる$
$\quad ための \ (a,\ t)\ の条件を求め、その条件の表す領域を \ at\ 平面上に図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 与えられた極限値が使えるような変数変換を考えます。$
$(2)\ \ 変曲点を求めます。$
$(3)\ \ 接線の方程式を求め、x=0\ とおきます。a\ の値によって条件式が変わります。$
(1)
$\log x=-t \quad とおく。x \longrightarrow +0 \ \ の極限値を求めるのだから \quad 0 < x < 1 \ \ と考えてよい。$
$したがって \quad \log x < 0 \quad より \quad t > 0$
$x=e^{-t} \quad だから \quad f(x)=f(e^{-t})=(e^{-t})^a(-t)=-te^{-at}=-\cfrac{1}{a}(at)e^{-at}$
$at=s \quad とおくと \quad f(x)=f(e^{-\scriptsize{\cfrac{s}{a}}})=-\cfrac{1}{a}se^{-s}$
$x \longrightarrow +0 \quad のとき \quad t \longrightarrow +\infty \quad だから \quad a > 0 \quad より \quad s \longrightarrow +\infty$
\[\lim_{s \rightarrow \infty} se^{-s} =0 \quad だから \quad \lim_{x \rightarrow +0} f(x) =0\]
$\qquad この極限値の証明については($不定形の極限値$)をご覧ください。$
(2)
$f(x)=x^a\log x \quad より \quad f'(x)=ax^{a-1}\log x+x^a \cdot \cfrac{1}{x}=x^{a-1}(1 +a\log x)$
$f''(x)=(a-1)x^{a-2}(1+a\log x)+x^{a-1} \cdot \cfrac{a}{x}=x^{a-2}(a(a-1)\log x +2a-1)$
$f''(x)=0 \quad より \quad a(a-1)\log x +2a-1=0 \qquad \log x=\cfrac{1-2a}{a(a-1)} \qquad \alpha = e^{\scriptsize{\cfrac{1-2a}{a(a-1)}}} \quad とおくと$
(i)$\ \ 0 < a < 1 \ \ のとき$
$\qquad x < \alpha \ \ のとき \quad f''(x) > 0 ,\qquad x= \alpha \ \ のとき \quad f''(\alpha) =0,\qquad x> \alpha \ \ のとき \quad f''(x) < 0 $
(ii)$\ \ a > 1 \ \ のとき$
$\qquad x < \alpha \ \ のとき \quad f''(x) < 0 ,\qquad x= \alpha \ \ のとき \quad f''(\alpha) =0,\qquad x> \alpha \ \ のとき \quad f''(x) > 0 $
$いずれにせよ \quad x=\alpha \quad で変曲点となる。$
$f(\alpha)=0 \quad となるのは \quad \log \alpha =0 \quad だから \quad \cfrac{1-2a}{a(a-1)}=0 \qquad \therefore \ \ a=\cfrac{1}{2}$
$このとき \quad f(x)=x^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\log x \qquad $
$f'(x)=x^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}(1 +\cfrac{1}{2}\log x) \qquad f'(x)=0 \quad より \quad \log x=-2 \qquad x=e^{-2}$
$f''(x)=x^{-\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} \times \big(-\cfrac{1}{4}\log x\big) =-\cfrac{1}{4}x^{-\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\log x \qquad f''(x)=0 \quad より \quad x=1$
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
x& 0 & \cdots & e^{-2} & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
y'& & - & 0 & + & + & + \\
\hline
y'' & & + & + & + & 0 & - \\
\hline
y & & 下に凸 & 極小 & 下に凸 & 変曲点 & 上に凸 \\
\end{array}
\]
$x=e^{-2} \ \ で \ y\ は極小となり、極小値は \quad f(e^{-2})=-2(e^{-2})^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}=-2e^{-1}$
$グラフは右のとおり$
(3)
$(2)より \quad f'(x)=x^{a-1}(1 +a\log x) \quad だから \quad P(t,f(t)) \quad における接線 \ l\ は$
$\quad y=t^{a-1}(1 +a\log t)(x-t)+t^a\log t$
$y\ 軸との交点は \ x=0\ とおいて \quad y=-t^a(1+a\log t)+t^a\log t$
$y < 0 \quad だから \quad -t^a(1+a\log t)+t^a\log t < 0$
$t^a > 0 \quad で割って \quad -(1+a\log t)+ \log t < 0$
$(a-1)\log t > -1$
(i)$\ \ a > 1 \ \ のとき$
$\quad \log t > -\cfrac{1}{a-1} \quad より \quad t > e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{a-1}}}$
(ii)$\ \ a = 1 \ \ のとき$
$\quad 0 \times \log t > -1 \quad よって \quad t\ は任意の正の実数$
(i)$\ \ 0 < a < 1 \ \ のとき$
$\quad \log t < -\cfrac{1}{a-1} \quad より \quad 0 < t < e^{-\scriptsize{\cfrac{1}{a-1}}}$
$表す領域は右図のとおりで、境界は含まず。$
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