コーシー・リーマンの関係


$複素平面上の領域 \ D\ の点 \ Z_0\ で$
\[\lim _{z \rightarrow z_0} \cfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \cfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} \quad が存在するとき\] $f(z)\ は \ z=z_0\ で微分可能であるといい、この極限値を \ f'(z_0)\ と表します。$

$領域 \ D\ のすべての点で微分可能なとき、f(z)\ は \ D\ で正則であるといいます。$

$領域 \ D\ において、z=x+yi\ \ の関数 \ f(z)=u(x,\ y)+i v(x,\ y)\ \ が微分可能であるための必要十分条件は$
$\qquad コーシ－・リーマンの関係 \qquad \cfrac{\partial u}{\partial x} =\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$
$が成りたつことである。ただし、u(x,\ y),v(x,\ y)\ は \ x,\ y\ について偏微分可能とする。$


$(証明)$

$必要条件$

$f(z)\ が微分可能ならば \ \ \Delta z=\Delta x + i\Delta y \ \ はどのように \ 0\ に近づいてもよいから$

(i)$\ \ 実軸に平行に近づく場合$

$\quad \Delta y=0 \quad だから \quad \Delta z=\Delta x $
\begin{eqnarray*} f'(z) &=&\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \cfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ &=&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{u(x+\Delta x,\ y)-u(x,\ y)+i\{v(x+\Delta x,\ y)-v(x,\ y)\}}{\Delta x} \\ &=&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{u(x+\Delta x,\ y)-u(x,\ y)}{\Delta x}+i \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{v(x+\Delta x,\ y)-v(x,\ y)}{\Delta x} \\ &=&\cfrac{\partial u}{\partial x} +i \cfrac{\partial v}{\partial x}\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ 虚軸に平行に近づく場合$

$\quad \Delta x=0 \quad だから \quad \Delta z=i\Delta y $
\begin{eqnarray*} f'(z) &=&\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \cfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ &=&\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \cfrac{u(x,\ y+\Delta y)-u(x,\ y)+i\{v(x,\ y+\Delta y)-v(x,\ y)\}}{i \Delta y} \\ &=&\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \cfrac{u(x,\ y+\Delta y)-u(x,\ y)}{i \Delta y}+i \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{v(x,\ y+\Delta y)-v(x,\ y)}{i \Delta y} \\ &=&-i \cfrac{\partial u}{\partial y} + \cfrac{\partial v}{\partial y}\\ \end{eqnarray*}
(i),(ii)$\ \ より \quad \cfrac{\partial u}{\partial x} +i \cfrac{\partial v}{\partial x} =-i \cfrac{\partial u}{\partial y} + \cfrac{\partial v}{\partial y} \qquad \therefore \ \ \cfrac{\partial u}{\partial x} =\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$


$十分条件$

$\quad \Delta x=h,\quad \Delta y=k \quad とおくと \quad \Delta z=\Delta x + i\Delta y=h+ki $

$\quad |\Delta z|=\sqrt{h^2+k^2} \quad だから \quad \Delta z \longrightarrow 0 \quad \Longleftrightarrow \quad h ,\ \ k \longrightarrow 0 $


$\quad $2変数の平均値の定理 $\quad f(x_0+h,\ y_0+k)=f(x_0,\ y_0)+\ hf_x(x_0+h\theta,\ y_0+k)+kf_y(x_0,\ y_0+k\theta) \quad において$

$\quad f \longrightarrow u,\qquad x_0 \longrightarrow x,\qquad y_0 \longrightarrow y \quad と置き換えると$

$\quad u(x+h,\ y+k)=u(x,\ y)+\ hu_x(x+h\theta,\ y+k)+ku_y(x,\ y+k\theta) \quad を満たす \ \theta \ \ (0 < \theta < 1)\ が存在する。$

$\quad u_x(x,y),\ \ u_y(x,y)\quad の連続性より $

$\qquad \forall \varepsilon_1　\exists \delta \quad |h|<\delta ,\quad |k|<\delta \quad ならば \quad \cfrac{\partial }{\partial x}u(x+h\theta,\ y+k)=\cfrac{\partial }{\partial x}u(x,\ y)+\varepsilon_1 $

$\qquad \forall \varepsilon_2　\exists \delta \quad |h|<\delta ,\quad |k|<\delta \quad ならば \quad \cfrac{\partial }{\partial y}u(x,\ y+k\theta)=\cfrac{\partial }{\partial y}u(x,\ y)+\varepsilon_2 $

$このとき$
\begin{eqnarray*} \Delta u &=&u(x+h,y+k)-u(x,y)\\ \\ &=&h\cfrac{\partial }{\partial x}u(x+h\theta,\ y+k)+ k\cfrac{\partial }{\partial y}u(x,\ y+k\theta) \\ \\ &=&h(\cfrac{\partial }{\partial x}u(x,\ y)+ \varepsilon_1) +k(\cfrac{\partial }{\partial y}u(x,\ y)+ \varepsilon_2)\\ \\ &=&h\cfrac{\partial }{\partial x}u(x,\ y)+k\cfrac{\partial }{\partial y}u(x,\ y)+ h\varepsilon_1 + k\varepsilon_2\\ \end{eqnarray*} $同様にして$
\begin{eqnarray*} \Delta v &=&v(x+h,y+k)-v(x,y)\\ \\ &=&h(\cfrac{\partial }{\partial x}v(x,\ y)+ \varepsilon_3) +k(\cfrac{\partial }{\partial y}v(x,\ y)+ \varepsilon_4)\\ \\ &=&h\cfrac{\partial }{\partial x}v(x,\ y)+k\cfrac{\partial }{\partial y}v(x,\ y)+ h\varepsilon_3 + k\varepsilon_4\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} \Delta f(z) &=&\Delta u+i\Delta v\\ \\ &=&h\cfrac{\partial u}{\partial x}+k\cfrac{\partial u}{\partial y}+ h\varepsilon_1 + k\varepsilon_2+ i(h\cfrac{\partial v}{\partial x} +k\cfrac{\partial v}{\partial y}+ h\varepsilon_3 + k\varepsilon_4)\\ \\ & &\qquad \cfrac{\partial u}{\partial x} =\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x} \quad より\\ \\ &=&h\cfrac{\partial u}{\partial x}+k(-\cfrac{\partial v}{\partial x})+ h\varepsilon_1 + k\varepsilon_2+ i(h\cfrac{\partial v}{\partial x} +k\cfrac{\partial u}{\partial x}+ h\varepsilon_3 + k\varepsilon_4)\\ \\ &=&(h+ik)\cfrac{\partial u}{\partial x}+i(h+ik)\cfrac{\partial v}{\partial x}+ h(\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)+k(\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)\\ \end{eqnarray*} $したがって$
\begin{eqnarray*} \cfrac{\Delta f(z)}{\Delta z} &=&\cfrac{(h+ik)\cfrac{\partial u}{\partial x}+i(h+ik)\cfrac{\partial v}{\partial x}+ h(\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)+k(\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)}{h+ik}\\ \\ &=&\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}+ \cfrac{h(\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)+k(\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)}{h+ik}\\ \\ \end{eqnarray*} $\qquad |\cfrac{h}{h+ik}|=\cfrac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2}}< 1 ,\qquad |\cfrac{k}{h+ik}|=\cfrac{|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}< 1 \quad だから$

$\quad \varepsilon=\max \{\varepsilon_1,\varepsilon_1,\varepsilon_1,\varepsilon_4 \} \quad とおくと$
,
\begin{eqnarray*} & &\Big|\cfrac{h(\varepsilon_1 + i\varepsilon_3)+k(\varepsilon_2 + i\varepsilon_4)}{h+ik}\Big|\\ \\ &<&\Big|\cfrac{h}{h+ik}\Big||\varepsilon_1 + i\varepsilon_3| +\Big|\cfrac{k}{h+ik}\Big||\varepsilon_2 + i\varepsilon_4|\\ \\ &<&|\varepsilon_1 + i\varepsilon_3| +|\varepsilon_2 + i\varepsilon_4|\\ \\ &\leqq&|\varepsilon_1| + |\varepsilon_3| +|\varepsilon_2|+ |\varepsilon_4|\\ \\ &\leqq &4\varepsilon \end{eqnarray*} \[したがって \quad \lim _{\Delta z \rightarrow 0} \cfrac{\Delta f(z)}{\Delta z}=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}\] $\qquad すなわち \quad f(z)\ は微分可能で \qquad f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}$

$このことから、f(z)\ が微分可能ならば、x\ だけで微分すればよいこともわかります。$


$例1 \quad f(z)=z^2$

$\quad z=x+yi,\quad f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \quad とおくと$

$\quad f(z)=(x+yi)^2=x^2-y^2+2ixy \quad だから \quad 　u(x,y)=x^2-y^2,\quad v(x,y)=2xy$

$\qquad \cfrac{\partial u}{\partial x} =2x=\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-2y=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$

$\quad コーシー・リーマンの関係式が成りたつので \quad f(z)\ は微分可能$

$\quad f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=2x+2iy=2z \quad より \qquad (z^2)'=2z$


$例2 \quad f(z)=e^z$

$\quad z=x+yi,\quad f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \quad とおくと$

$\quad f(z)=e^z=e^{x+yi}=e^x(\cos y + i\sin y) \quad だから \quad 　u(x,y)=e^x\cos y ,\quad v(x,y)=e^x\sin y$

$\quad \cfrac{\partial u}{\partial x} =e^x\cos y=\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$

$\quad コーシー・リーマンの関係式が成りたつので \quad f(z)\ は微分可能$

$\quad f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=e^x\cos y+ie^x\sin y=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z \quad より \qquad (e^z)'=e^z$


$例3 \quad f(z)=\cos z,\qquad g(z)=\sin z$

$\quad \cos z ,\quad \sin z \ \ は \ \ \cos z=\cfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} , \quad \sin z=\cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \quad で定義されます。$
\begin{eqnarray*} \cos z &=&\cfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(e^{i(x+yi)}+e^{-i(x+yi)})\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(e^{-y+ix}+e^{y-ix})\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\{e^{-y}(\cos x+i\sin x)+e^y(\cos x -i\sin x)\}\\ \\ &=&\cos x \cdot \cfrac{e^y+e^{-y}}{2} -i\sin x \cdot \cfrac{e^y-e^{-y}}{2}\\ \\ &=&\cos x \cosh y -i\sin x \sinh y \\ \end{eqnarray*}
$\qquad (\cosh y,\ \ \sinh y \quad の定義,性質,導関数については$双曲線関数$をご覧ください。)$

\begin{eqnarray*} \sin z &=&\cfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ \\ &=&-\cfrac{i}{2}(e^{i(x+yi)}-e^{-i(x+yi)})\\ \\ &=&-\cfrac{i}{2}(e^{-y+ix}-e^{y-ix})\\ \\ &=&-\cfrac{i}{2}\{e^{-y}(\cos x+i\sin x)-e^y(\cos x -i\sin x)\}\\ \\ &=&\sin x \cdot \cfrac{e^y+e^{-y}}{2} +i\cos x \cdot \cfrac{e^y-e^{-y}}{2}\\ \\ &=&\sin x \cosh y +i\cos x \sinh y \\ \end{eqnarray*}
$よって$

$f(z)=\cos z \quad について$

$\quad u(x,y)=\cos x \cosh y , \quad v(x,y)=-\sin x \sinh y $

$\quad \cfrac{\partial u}{\partial x} =-\sin x \cosh y=\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=\cos x \sinh y=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$

$\quad コーシー・リーマンの関係式が成りたつので \quad f(z)\ は微分可能$

$\quad f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=-\sin x \cosh y-i\cos x \sinh y=-\sin z \quad より \qquad (\cos z)'=-\sin z$


$g(z)=\sin z \quad について$

$\quad u(x,y)=\sin x \cosh y , \quad v(x,y)=\cos x \sinh y $

$\quad \cfrac{\partial u}{\partial x} =\cos x \cosh y=\cfrac{\partial v}{\partial y},\qquad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-\sin x \sinh y=-\cfrac{\partial v}{\partial x}$

$\quad コーシー・リーマンの関係式が成りたつので \quad g(z)\ は微分可能$

$\quad g'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=\cos x \cosh y+i\sin x \sinh y=\cos z \quad より \qquad (\sin z)'=\cos z$



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