双曲線関数


1 双曲線関数とは

 

$y=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ y=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}を双曲線関数といい、$
$それぞれ y=\sinh x , \ \ y=\cosh x \ \ と表し,$
$ハイパボリックサイン,ハイパボリックコサインと読む。$
$すなわち$
$\quad \sinh x=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2},\ \cosh x=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

$グラフはそれぞれ右図のとおりです。$
$y=\cosh x  はカテナリー(懸垂線)とよばれています。$

2 名前の由来


$この関数については、名前と記号ですぐに疑問がわきます。$

(i)$\ グラフは双曲線に似ても似つかないのに、なぜ双曲線関数というのでしょうか。$

(ii)$ なぜ、\sinh, \ \ \cosh とかくのでしょうか。三角関数と関係があるのでしょうか。$

$勝手に私なりの考えを述べます。$
$まず、$(i)$についてですが、$

$点P(\cosh t ,\sinh t) は$
\begin{eqnarray*} x^2-y^2&=&\big(\cfrac{e^t + e^{-t}}{2}\big)^2-\big(\cfrac{e^t - e^{-t}}{2}\big)^2\\ &=&\cfrac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}-\cfrac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}\\ &=&1\\ \end{eqnarray*} $だから、双曲線 x^2-y^2=1 \ \ 上の点です。$
$おそらくこのようなことから双曲線関数とネーミングされたのではないでしょうか。$

$次に、$(ii)$についてですが、$

$\sinh x ,\ \ \cosh x \ \ は次に示すように三角関数の \ \ \sin x ,\ \ \cos x \ \ と類似の公式が導かれますので$
$この記号が使われたと思います。$


3 双曲線関数の公式


$(1)\ 平方の差$

\begin{eqnarray*} \cosh ^2x - \sinh ^2x&=&\big(\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\big)^2-\big(\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\big)^2\\ &=&\cfrac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x})-\cfrac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x})\\ &=&1\\ \end{eqnarray*}
$(2)\ 2倍角の公式$

\begin{eqnarray*} \sinh 2x &=& \cfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\ &=&\cfrac{(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})}{2}\\ &=&2\sinh x\ \cosh x\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cosh 2x&=&\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\\ &=&\cfrac{(e^x+e^{-x})^2-2}{2}\\ &=&2\big(\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\big)^2-1\\ &=&2\cosh ^2x-1\\ \end{eqnarray*}
$(3)\ 加法定理$

\begin{eqnarray*} \sinh (x+y)&=&\cfrac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\\ &=&\cfrac{1}{4}\{(e^x-e^{-x})(e^y+e^{-y})+(e^x+e^{-x})(e^y-e^{-y})\}\\ &=&\sinh x\ \cosh y + \cosh x\ \sinh y\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cosh (x+y)&=&\cfrac{e^{x+y}+e^{-(x+y)}}{2}\\ &=&\cfrac{1}{4}\{(e^x+e^{-x})(e^y+e^{-y})+(e^x-e^{-x})(e^y-e^{-y})\}\\ &=&\cosh x\ \cosh y + \sinh x\ \sinh y\\ \end{eqnarray*}
$(4)\ 3倍角$

\begin{eqnarray*} \sinh 3x&=&\sinh (2x+x)\\ &=&\sinh 2x\ \cosh x + \cosh 2x\ \sinh x\\ &=&2\sinh x\ \cosh ^2x + (2\cosh ^2x-1)\ \sinh x\\ &=&2\sinh x\ (\sinh ^2 x+1) + (2\sinh ^2x+1)\ \sinh x\\ &=&4\sinh ^3x + 3\sinh x\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cosh 3x&=&\cosh (2x+x)\\ &=&\cosh 2x\ \cosh x + \sinh 2x\ \sinh x\\ &=&(2\cosh ^2x-1)\cosh x + 2\sinh ^2x \ \cosh x\\ &=&2\cosh ^3 x- \cosh x + 2(\cosh ^2x-1)\ \cosh x\\ &=&4\cosh ^3x - 3\cosh x\\ \end{eqnarray*}

$双曲線関数は、自然科学や工学で必須の関数ですが、この原稿は、3次方程式を解くために$
$書きましので、公式はこのくらいで一応やめます。$
$是非$ 3次方程式の実数解を求める方法$を訪れてください。$




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