2変数関数の平均値の定理



$点(x_0,\ y_0)\ の近傍で \ f(x,y)\ は \ x,\ y\ について偏微分可能とする。$
$その近傍内の点 \ (x,\ y)=(x_0+h,\ y_0+k)\ について$

$\hspace{2em} f(x_0+h,\ y_0+k)=f(x_0,\ y_0)+\ hf_x(x_0+h\theta,\ y_0+k)+kf_y(x_0,\ y_0+k\theta)$

$を満たす \ \theta \ \ (0 < \theta < 1)\ が存在する。$


$(証明)$

$\quad g(t)=f(x_0 + ht,\ y_0+k) + f(x_0,\ y_0 + kt) \quad とおくと$

$\quad 1\ 変数の平均値の定理より$

$\qquad \cfrac{g(1)-g(0)}{1-0}=g'(\theta) \quad となる \ \theta \ \ (0 < \theta < 1)\ が存在する。$

$\quad 左辺=\{f(x_0+h,\ y_0 +k)+ f(x_0,\ y_0+ k)\}-\{f(x_0,\ y_0+k)+ f(x_0,\ y_0)\}=f(x_0+h,\ y_0+k)-f(x_0,\ y_0)$

$\quad 右辺=hf_x(x_0+h\theta,\ y_0+ k)+ kf_y(x_0,\ y_0+ k\theta)$

$よって$

$\quad f(x_0+h,\ y_0+ k)-f(x_0,\ y_0)=hf_x(x_0+ h\theta,\ y_0+k)+ kf_y(x_0,\ y_0+k\theta)$

$\quad \therefore \ \ f(x_0+ h,\ y_0+k)=f(x_0,\ y_0)+ hf_x(x_0+h\theta,\ y_0+k)+kf_y(x_0,\ y_0+k\theta)$



　

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る