京都府立医科大学 2024年　問題4


$xyz\ 空間の点A(-2,\ 0,\ 0),\ B(2,\ -2\sqrt{3},\ 0),\ C(-1,\ \sqrt{3},\ 0),\ D(-1,\ \sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}) \ を頂点とする四面体 \ ABCD\ を$
$K\ とする。実数 \ t\ に対して、方程式 \ x=t\ で表される平面を \ H\ とする。$
$(1)\ \ -2 \leqq t \leqq 2\ のとき、平面 \ H\ と \ K\ の辺 \ AB\ との共有点を \ P\ とする。P\ の座標を \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ -2 \leqq t \leqq -1\ のとき、平面 \ H\ と \ K\ の辺 \ AC,\ AD\ との共有点をそれぞれ \ Q,\ R\ とする。Q,\ R\ の座標を$
$\quad t\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ -1 \leqq t \leqq 2 \ のとき、平面 \ H\ と \ K\ の辺 \ BC,\ BD\ との共有点をそれぞれ \ Q',\ R'\ とする。Q',\ R'\ の座標を$
$\quad t\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ K\ を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転させるとき、K\ が通過する部分がつくる立体の体積 \ V\ を求めよ。$


$(参考)\ \ 類似の問題が$2024年東京大学(理系)問題5$\ \ と \ \ $2024年神戸大学(理系)問題4$で出題されています。$

　

(1)


$\quad \vec{AB}= (2,\ -2\sqrt{3},\ 0)-(-2,\ 0,\ 0)=(4,\ -2\sqrt{3},\ 0)$

$\quad \vec{OP}=\vec{OA}+s\vec{AB}=(-2,\ 0,\ 0) + s(4,\ -2\sqrt{3},\ 0)=(4s-2,\ -2\sqrt{3}s,\ 0)$

$\quad 4s-2=t \quad だから \quad s=\cfrac{t+2}{4}$

$\quad \therefore\ \ P(t,\ -\dfrac{\sqrt{3}(t+2)}{2},\ 0)$


(2)


$\quad \vec{AC}= (-1,\ \sqrt{3},\ 0)-(-2,\ 0,\ 0)=(1,\ \sqrt{3},\ 0)$

$\quad \vec{OQ}=\vec{OA}+u\vec{AC}=(-2,\ 0,\ 0) + u(1,\ \sqrt{3},\ 0)=(u-2,\ \sqrt{3}u,\ 0)$

$\quad u-2=t \quad だから \quad u=t+2$

$\quad \therefore\ \ Q(t,\ \sqrt{3}(t+2),\ 0)$

$また$

$\quad \vec{AD}= (-1,\ \sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2})-(-2,\ 0,\ 0)=(1,\ \sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2})$

$\quad \vec{OR}=\vec{OA}+v\vec{AD}=(-2,\ 0,\ 0) + v(1,\ \sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2})=(v-2,\ \sqrt{3}v,\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}v)$

$\quad v-2=t \quad だから \quad v=t+2$

$\quad \therefore\ \ R(t,\ \sqrt{3}(t+2),\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(t+2))$


(3)


$\quad \vec{CB}= (2,\ -2\sqrt{3},\ 0)-(-1,\ \sqrt{3},\ 0)=(3,\ -3\sqrt{3},\ 0)$

$\quad \vec{OQ'}=\vec{OC}+w\vec{CB}=(-1,\ \sqrt{3},\ 0) + w(3,\ -3\sqrt{3},\ 0)=(3w-1,\ -3\sqrt{3}w+\sqrt{3},\ 0)$

$\quad 3w-1=t \quad だから \quad w=\cfrac{t+1}{3}$

$\quad \therefore\ \ Q'(t,\ -\sqrt{3}t,\ 0)$

$また$

$\quad \vec{DB}= (2,\ -2\sqrt{3},\ 0)-(-1,\ \sqrt{3},\dfrac{3\sqrt{3}}{2})=(3,\ -3\sqrt{3},\ -\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$

$\quad \vec{OR'}=\vec{OD}+r\vec{DB}=(-1,\ \sqrt{3},\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}) + r(3,\ -3\sqrt{3},\ -\dfrac{3\sqrt{3}}{2})=(3r-1,\ -3\sqrt{3}r+\sqrt{3},\ -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}r+ \dfrac{3\sqrt{3}}{2})$

$\quad 3r-1=t \quad だから \quad r=\cfrac{t+1}{3}$

$\quad \therefore\ \ R'(t,\ -\sqrt{3}t,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}(t-2))$


(4)


$以下の図は、K:四面体ABCD を平面 \ H:x=t\ で切断したものを、yz\ 平面に射影した図で、$

$x\ 軸に垂直な平面 \ H\ は \ yz\ 平面に平行だから重なって見える。O'(t,\ 0,\ 0)\ とおく$

　

(i)$\ \ -2 \leqq t \leqq -1 \ \ のとき$

$\quad H\ と交わる辺は、AB,\ AC,\ AD \ だから交点は$

$\quad P(t,\ -\dfrac{\sqrt{3}(t+2)}{2},\ 0),\quad Q(t,\ \sqrt{3}(t+2),\ 0),\quad R(t,\ \sqrt{3}(t+2),\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(t+2))$

$\quad O'\ から切断面 \ \triangle PQR \ への最大の長さは \ O'R \ だから$

$\quad 回転体は半径 \ O'R\ の円(右図の赤い円)を描く。$

$\quad したがって、回転体を \ H\ で切断したときの断面積 \ S_1\ は$

$\quad S_1=\pi O'R^2=\pi\{3(t+2)^2+\cfrac{27}{4}(t+2)^2\}=\cfrac{39}{4}\pi (t+2)^2$


(ii)$\ \ -1 \leqq t \leqq 2 \ \ のとき$

$\quad H\ と交わる辺は、AB,\ BC,\ BD\ だから交点は$

$\quad P(t,\ -\dfrac{\sqrt{3}(t+2)}{2},\ 0),\quad Q'(t,\ -\sqrt{3}t,\ 0),\quad R'(t,\ -\sqrt{3}t,\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}(t-2))$

$\quad t\ の正負により \ Q',\ R'\ の \ y\ 座標の位置が変わる。$

　

$(ア)\ \ -1 \leqq t \leqq 0 \ \ のとき$

$\quad O'R'^2=(-\sqrt{3}t)^2+\dfrac{3}{4}(t-2)^2=\cfrac{15}{4}t^2-3t+3$

$\quad O'P^2=\dfrac{3}{4}(t+2)^2=\cfrac{3}{4}t^2+3t+3$

$\quad O'R'^2-O'P^2=3t^2-6t=3t(t-2) \geqq 0 \ \ だから$

$\quad O'\ から最も離れた点 \ R'\ が 断面の円(右図の赤い円)を描く。$

$\quad O'\ は\triangle PQ'R'\ の内部にあるから切り取る円はない。$

$\quad したがって、回転体を \ H\ で切断したときの断面積 \ S_2\ は$

$\quad S_2=\pi O'R^2=\pi (\cfrac{15}{4}t^2-3t+3)$

　

$(イ)\ \ 0 \leqq t \leqq 2 \ \ のとき$

$\quad O'R'^2=\cfrac{15}{4}t^2-3t+3$

$\quad O'P^2=\dfrac{3}{4}(t+2)^2=\cfrac{3}{4}t^2+3t+3$

$\quad O'P^2-O'R^2=-3t^2+6t=3t(2-t) \geqq 0 　\quad \therefore \ \ O'P \geqq O'R $

$よって$

$\quad O'\ から最も離れた点 \ P\ が 断面の外側の円(右図の赤の円)を描く。$

$\quad O'\ から最も近い点 \ Q'\ が 断面の内側の円(右図の緑の円)を描く。$

$\quad したがって、回転体を \ H\ で切断したときの断面積 \ S_3\ は$

$\quad S_3=\pi O'P^2-\pi O'Q'^2=\pi (\cfrac{3}{4}(t+2)^2-3t^2)=\pi(-\cfrac{9}{4}t^2+3t+3)$

$\ \ 以上より\ K\ を \ x\ 軸のまわりに \ 1\ 回転させるとき、K\ が通過する部分がつくる立体の体積 \ V\ は$
\begin{eqnarray*} V &=&\int _{-2}^{-1}S_1 dt + \int _{-1}^0 S_2 dt+\int _0^2 S_3 dt\\ \\ &=&\int _{-2}^{-1}\cfrac{39}{4}\pi (t+2)^2dt + \int _{-1}^0 \pi (\cfrac{15}{4}t^2-3t+3) dt+\int _0^2 \pi(-\cfrac{9}{4}t^2+3t+3) dt\\ \\ &=&\cfrac{39}{4}\pi \big[\dfrac{(t+2)^3}{3}\big]_{-2}^{-1} + \pi\big[\dfrac{5}{4}t^3-\dfrac{3}{2}t^2+3t\big]_{-1}^0 +\pi\big[-\dfrac{3}{4}t^3+\dfrac{3}{2}t^2+3t\big]_0^2\\ \\ &=&\cfrac{13}{4}\pi \times 1 - \pi \big(-\dfrac{5}{4} -\dfrac{3}{2} -3\big) +\pi (-6+6+6)\\ \\ &=&15\pi \end{eqnarray*}

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