東北大学(理系) 2023年 問題4
$実数 \ a=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\ に対して、整式 \ f(x)=x^2-ax+1\ を考える。$
$(1)\ \ 整式 \ \ x^4+x^3+x^2+x+1 \ \ は \ f(x)\ で割り切れることを示せ。$
$(2)\ \ 方程式 \ f(x)=0\ の虚数解であって虚部が正のものを \ \alpha \ とする。\alpha \ を極形式で表せ。$
$\quad ただし、r^5=1 \ を満たす実数 \ r\ が \ r=1\ のみであることは、認めて使用してよい。$
$(3)\ \ 設問(2)の虚数 \ \alpha \ に対して、\alpha ^{2023} + \alpha ^{-2023}\ \ の値を求めよ。$
(1)
\begin{eqnarray*} R(x) &=&(a^2(a+1)-a)x-a(a+1)+1\\ \\ &=&a(a(a+1)-1)x-a(a+1)+1 \end{eqnarray*}
$a=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\ より$
$a(a+1)=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1)=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2} \times \cfrac{\sqrt{5}+1}{2}=1$
$よって \quad R(x)=0 \quad だから \quad x^4+x^3+x^2+x+1 \ \ は \ \ f(x)=x^2-ax+1 \ \ で割り切れる。$
$なお、別の方法については($$\cos \cfrac{2k}{5}\pi の値$$)を参考にしてください。$
(2)
$(1)より \quad x^4+x^3+x^2+x+1 \ \ を \ f(x)=x^2-ax+1 で割った商を\ \ Q(x)=x^2+(a+1)x+a(a+1)\ \ とおくと$
$\quad x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)f(x)Q(x)$
$両辺に \ \ x=\alpha \ \ を代入して \quad \alpha ^5-1=(\alpha -1)f(\alpha)Q(\alpha)$
$f(\alpha)=0 \quad だから \quad \alpha ^5=1 $
$両辺の絶対値をとって \quad |\alpha ^5|=1 \qquad \therefore \ \ |\alpha|^5=1$
$これを満たす 実数 \ |\alpha| \ は \ 1\ のみであるから \qquad \alpha =\cos \theta +i\sin \theta \quad とおける。$
$\alpha ^5=\cos 5\theta +i\sin 5\theta =1 \quad より \quad \cos 5\theta =1, \quad \sin 5\theta =0$
$これを解いて \quad 5\theta=2k\pi\ \ (k\ は整数) \qquad \therefore \ \ \theta =\cfrac{2k}{5}\pi$
$また、\alpha \ は \ \ f(x)=x^2-ax+1=0 \ \ の虚数解であるから \quad \overline{\alpha} \ \ も解である。$
$解と係数の関係より \quad \alpha +\overline{\alpha}=a$
$\alpha \ の実部 \ Re(\alpha) \ は \ \ Re(\alpha)=\cfrac{\alpha +\overline{\alpha}}{2}=\cfrac{a}{2}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4} >0$
$よって \quad \alpha \ の実部と虚部はともに正であるから \ \ k=1 \ \ で \quad \theta=\cfrac{2}{5}\pi$
$したがって \quad \alpha =\cos \cfrac{2}{5}\pi + i\sin \cfrac{2}{5}\pi $
(3)
$(2)より \quad \alpha =\cos \cfrac{2}{5}\pi + i\sin \cfrac{2}{5}\pi \quad だから \quad Re(\alpha)=\cos \cfrac{2}{5}\pi$
$一方 \quad Re(\alpha)=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4} \quad だから$
$\cos \cfrac{2}{5}\pi=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}$
$2\cos ^2 \cfrac{\pi}{5} -1=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\cos ^2 \cfrac{\pi}{5} =\cfrac{\sqrt{5}+3}{8}=\cfrac{6+2\sqrt{5}}{16}=\cfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{16}$
$\cos \cfrac{\pi}{5} > 0 \quad だから \quad \cos \cfrac{\pi}{5}=\cfrac{\sqrt{5}+1}{4}$
$したがって$
\begin{eqnarray*} & &\alpha ^{2023} + \alpha ^{-2023}\\ \\ &=&(\cos \cfrac{2}{5}\pi + i\sin \cfrac{2}{5}\pi)^{2023} + (\cos \cfrac{2}{5}\pi + i\sin \cfrac{2}{5}\pi)^{-2023}\\ \\ &=&\cos (2023 \times \cfrac{2}{5}\pi) + i\sin (2023 \times \cfrac{2}{5}\pi) + \cos (-2023 \times \cfrac{2}{5}\pi) + i\sin (-2023 \times \cfrac{2}{5}\pi)\\ \\ &=&2\cos (2023 \times \cfrac{2}{5}\pi)\\ \\ &=&2\cos \cfrac{4046}{5}\pi\\ \\ &=&2\cos (808+\cfrac{6}{5})\pi \\ \\ &=&2\cos \cfrac{6}{5}\pi\\ \\ &=&-2\cos \cfrac{\pi}{5}\\ \\ &=&-2 \times \cfrac{\sqrt{5}+1}{4}\\ \\ &=&-\cfrac{\sqrt{5}+1}{2} \end{eqnarray*}
$なお、類似の問題が($$京都大学(理系)問題\ 1\ 問2$$)で出題されていますので参考にしてください。$
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