京都大学(理系) 2023年　問題1


$次の各問に答えよ。$
\[問 \ 1\ \ 定積分 \ \ \int _1^4 \sqrt{x}\log (x^2)dx \ \ の値を求めよ。\] $問 \ 2\ \ 整式 \ \ x^{2023}-1 \ \ を整式 \ \ x^4+x^3+x^2+x+1 \ \ で割ったときの余りを求めよ。$



問 1


\[ I=\int _1^4 \sqrt{x}\log (x^2)dx =2\int _1^4 \sqrt{x}\log xdx \quad において\\ \quad \sqrt{x}=t \quad とおくと \quad x=t^2 \quad だから \quad dx=2tdt \qquad \begin{array}{c|c} x & 1 \rightarrow 4 \\ \hline t & 1 \rightarrow 2 \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} I &=&2 \int _1^2 t \log t^2 \cdot 2tdt\\ \\ &=&8 \int _1^2 t^2 \log t dt\\ \\ &=&8 \big[\cfrac{t^3}{3}\log t \big]_1^2 -8 \int _1^2 \cfrac{t^3}{3} \cdot \cfrac{dt}{t}\\ \\ &=&\cfrac{8}{3} \cdot 8 \log 2 -\cfrac{8}{3} \int _1^2 t^2 dt\\ \\ &=&\cfrac{64}{3} \log 2 -\cfrac{8}{3} \big[\cfrac{t^3}{3}\big] _1^2 \\ \\ &=&\cfrac{64}{3} \log 2 -\cfrac{8}{9} \times (8-1) \\ \\ &=&\cfrac{64}{3} \log 2 -\cfrac{56}{9} \end{eqnarray*}

問 2


$x^5=1 \ \ の解を \quad x=\cos \theta +i\sin \theta \quad とおくと$

$x^5=\cos 5\theta +i\sin 5\theta =1 \quad だから \quad \cos 5\theta =1 ,\quad \sin 5\theta =0 $

$5\theta =2k\pi \ \ (k は整数) \qquad \therefore \ \ \theta =\cfrac{2k}{5}\pi$

$\omega =\cos \cfrac{2}{5}\pi + i\sin \cfrac{2}{5}\pi \quad とおくと \quad x^5=1 \ \ の解は \quad 1,\ \ \omega , \ \ \omega ^2 ,\ \ \omega ^3, \ \ \omega ^4 \ \ で表される。$

$1\ 以外はすべて虚数解である。$

$\omega _k =\cos \cfrac{2k}{5}\pi + i\sin \cfrac{2k}{5}\pi \quad とおくと \quad \omega _k ^5=\cos 2k \pi + i\sin 2k \pi=1 \quad だから \quad \omega ^5=1$

$また、x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \quad と因数分解され、x \ne 1 より$

$\quad \omega ^4+\omega ^3 +\omega ^2 +\omega +1=0 $

$x^{2023}-1 \ \ を \ \ x^4+x^3+x^2+x+1 \ \ で割ったときの商を \ Q(x) 、余りを \ R(x)\ とおくと$

$除法の原理から$

$x^{2023}-1=(x^4+x^3+x^2+x+1)Q(x)+R(x) \ \ (ただし　R(x)\ の次数は \ 3\ 次以下) \ とおける。$

$x=\omega \ \ を代入して \quad \omega ^{2023}-1=R(\omega)$

$2023=5 \times 404+3 \quad だから \quad R(\omega)=(\omega ^5)^{404} \times \omega ^3 -1=\omega ^3 -1$

$よって \quad R(x)=x^3-1$


$なお、類似の問題が($$東北大学(理系)問題\ 4$$)で出題されていますので参考にしてください。$


$(補充)$

$これと同様な問題を考えてみます。$

$例 \ 1$

$f(x)=x^3-x+1 ,\ \ g(x)=x^2+1 \ \ として、f(x)\ を \ g(x)\ で割って商と余りを求めると$

$f(x)=g(x) \times x -2x+1 \qquad よって \quad R(x)=-2x+1$

$g(x)=0\ \ の解の \ 1\ つ \ i\ を代入すると \qquad f(i)=i^3-i+1=-2i+1$

$このように \ \ R(x)\ と \ f(i)\ は対応します。$


$例 \ 2$

$f(x)=x^3-x+1 ,\ \ g(x)=x^2+x+1 \ \ として、f(x)\ を \ g(x)\ で割って商と余りを求めると$

$f(x)=g(x) \times (x-1) -x+2 \qquad よって \quad R(x)=-x+2$

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \quad だから \quad g(x)=0\ \ の解の \ 1\ つを \ \omega \ とすると \quad \omega ^2+\omega +1=0,\quad \omega ^3=1$

$\omega \ を代入すると \qquad f(\omega)=\omega ^3-\omega+1=-\omega +2$

$やはり \ \ R(x)\ と \ f(\omega) \ は対応します。$


$(研究)$

$有理数 \ Q\ と既約多項式 \ f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0 \ の根 \ \omega \ で生成される \ \omega の3次式は$

$Qに係数をもつ拡大体 (根体といいます) となり、\ Q(\omega)と書かれます。$

$この \ Q(\omega)\ は、有理数係数からなる整式 \ Q[X]\ を \ f(x)\ で割った余り \ R(x) \ \ (Q[x]/(f)とかかれます)$

$と同値になります。$

$例えば、整式 \ q(x)\ を \ x^2+1 \ で割った余りは \ 1次式 \ ax+b\ になりますが、これは \ x^2+1=0\ の$

$解 \ i \ を代入して \ \ q(i)=ai+b \ \ となることを一般化したものです。$

$詳しくは、大学の代数学「体論」で学んでください。$


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