1 数値積分法とは


区間 $[a,b]$ で連続な関数 $y=f(x)$ の定積分を求めることが困難、あるいは不可能な場合、
この区間をいくつかの小区間に分割し、それぞれの小区間で、$f(x)$ を低次の多項式で近似
して定積分を求める方法を数値積分法といいます。
$ここでは、3次の多項式で近似する方法を考えます。$

$補題1\hspace{2em} p_0(x)=1, \ p_1(x)=x, \ p_2(x)=x^2, \ p_3(x)=x^3$  について
\[\int_{-h}^{h}p_k(x)dx = \cfrac{h}{3}\left\{ p_k(h) + p_k(-h) + 4 p_k(0)\right\} \hspace{4em}\]

(証明)
(i) $\ p_k(x)  (k=1, 3) は奇関数だから$
$\hspace{2em} 左辺 = 0$
$\hspace{2em} p_k(-h)=-p_k(h) , \ p_k(0) =0$  より
$\hspace{2em} 右辺= \cfrac{h}{3}\left\{ p_k(h) - p_k(h) + 4 ×0\right\}=0$
 となって成りたつ。

(ii)$\ p_0(x)=1$ は
\[左辺 = \int_{-h}^{h}dx = 2 h \hspace{24em}\] $\hspace{2em} 右辺 = \cfrac{h}{3}( 1 + 1 + 4 ) = 2h$
 となって成りたつ。

(iii) $\ p_2(x)=x^2$ は偶関数だから
\[左辺 =2 \int_{0}^{h}x^2dx = 2 \left[\cfrac{x^3}{3}\right]_{0} ^{h}=\cfrac{2}{3}h^3 \hspace{17em}\] $\hspace{2em} 右辺= \cfrac{h}{3}\left\{ h^2 + h^2 + 4 ×0\right\} = \cfrac{2}{3}h^3$
 となって成りたつ。

$補題2 \hspace{2em} p(x) が高々3次多項式ならば$
\[\int_{-h}^{h}p(x)dx = \cfrac{h}{3}\left\{ p(h) + p(-h) + 4 p(0)\right\}\hspace{6em}\]


(証明)
$\quad p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d =a\ p_3(x) + b\ p_2(x) + c\ p_1(x) + d\ p_0(x)$
とおけるから、補題1より
\[\int_{-h}^{h}p(x)dx \hspace{30em}\] \[=a\int_{-h}^{h}p_3(x)dx + b\int_{-h}^{h}p_2(x)dx + c\int_{-h}^{h}p_1(x)dx + d\int_{-h}^{h}p_0(x)dx \hspace{9em}\] $=a \times \cfrac{h}{3}\left\{p_3(h) + p_3(-h) + 4 p_3(0)\right\} + b \times \cfrac{h}{3}\left\{p_2(h) + p_2(-h) + 4 p_2(0)\right\}$
$\quad + c \times \cfrac{h}{3}\left\{p_1(h) + p_1(-h) + 4 p_1(0)\right\} + d \times \cfrac{h}{3}\left\{p_0(h) + p_0(-h) + 4 p_0(0)\right\}$
$=\cfrac{h}{3}\left\{a\ p_3(h) + b\ p_2(h) + c\ p_1(h) + d\ p_0(h)\right\}$
$\quad + \cfrac{h}{3}\left\{a \ p_3(-h) + b \ p_2(-h) + c \ p_1(-h) + d \ p_0(-h)\right\}$
$\quad + \cfrac{h}{3}\left\{a \ p_3(0) + b \ p_2(0) + c \ p_1(0) + d \ p_0(0)\right\}$
$=\cfrac{h}{3}\left\{p(h) + p(-h) + 4 p(0)\right\}$

$補題3 \hspace{2em} p(x) が高々3次多項式ならば$
\[\int_{a}^{b}p(x)dx = \cfrac{b-a}{6}\{p(a) + p(b) + 4 p\big(\cfrac{a+b}{2}\big)\} \hspace{4em}\]


(証明)
$\quad 原点が\cfrac{a+b}{2} となるように y軸を平行移動したときの関数を  y=p^*(x),$
$\quad h=\cfrac{a+b}{2}-a=\cfrac{b-a}{2}  とおくと  a \rightarrow -h,\quad b \rightarrow h  だから$
$\hspace{2em} p(a)=p^*(-h), \quad p(b)=p^*(h), \quad p(\cfrac{a+b}{2})= p^*(0)$
 補題2より
\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}p(x)dx &=& \int_{-h}^{h}p^*(x)dx \hspace{20em}\\ &=&\cfrac{h}{3}\left\{p^*(h) + p^*(-h) + 4 p^*(0)\right\}\\ &=&\cfrac{h}{3}\left\{ p(b) + p(a) + 4 p(\cfrac{a+b}{2})\right\}\\ &=&\cfrac{b-a}{6}\left\{ p(a) + p(b) + 4 p(\cfrac{a+b}{2})\right\} \end{eqnarray*}

定理  $f(x) が[a,b]$ で連続で $a\fallingdotseq b$ のとき
\[\int_{a}^{b}f(x)dx\fallingdotseq \cfrac{b-a}{6}\{f(a) + f(b) + 4 f\big(\cfrac{a+b}{2}\big)\} \hspace{2em}\]


(証明)
$c=\cfrac{a+b}{2} とおくと, \quad h=c-a=b-c $
$h=\cfrac{a+b}{2}-a=\cfrac{b-a}{2}  だから a \fallingdotseq b  ならば h \fallingdotseq 0$

$区間[a,b]で連続な関数f(x)は、多項式によって一様に近似されるから(ワイエルストラスの$
$多項式近似定理) \ f(x) の近似関数として、x=a, \ c, \ b\ において、f(x) と一致するn次多項式$
$q(x)を$
$\hspace{2em} q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0$

$とし、これの高々3次の部分をとり、$

$\hspace{2em} p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$

$とする。ただし、 p(x) は x=a, \ c, \ b \ において、q(x) と一致するとする。$
すなわち
$\hspace{2em} f(a)=q(a)=p(a), \quad f(c)=q(c)=p(c) , \quad f(b)=q(b)=p(b)$

$x=c+j \quad (-h \leqq j \leqq h)  とおくと$
\begin{eqnarray*} q(x)-p(x)&=&(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0)-(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0) \hspace{9em}\\ &=&a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_4x^4\\ &=&a_n(c+j)^n+a_{n-1}(c+j)^{n-1}+ \cdots +a_4(c+j)^4\\ &=&a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+ \cdots +a_4c^4+O(j) \hspace{2em} (\ O(j) \fallingdotseq 0 \ ) \\ &\fallingdotseq &q(c)-p(c)\\ &=&0\\ \end{eqnarray*} $よって q(x) \fallingdotseq p(x)  となり、f(x) \fallingdotseq p(x)  がいえる。$

$なお、f(x)が微分可能ならば x=c\ のまわりのマクローリン展開で、3次までの項をとった$
$ものが \ p(x) \ である。$

補題3より
\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)dx &\fallingdotseq & \int_{a}^{b}p(x)dx \hspace{20em}\\ &=&\cfrac{b-a}{6}\{p(a) + p(b) + 4 p\big(\cfrac{a+b}{2}\big)\}\\ &=&\cfrac{b-a}{6}\{f(a) + f(b) + 4 f\big(\cfrac{a+b}{2}\big)\}\\ \end{eqnarray*}


2 数値積分法の例

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