2 数値積分法の例


$積分区間 [a,b] を n 個の小区間に等分し、分点を  a_0=a , \ a_1 , \ a_2 , \ \cdots , \ a_n=b  とし$
$\hspace{2em} y_k=f(x_k) \ (k=0, 1, 2, \cdots, n) , \quad h=\cfrac{b-a}{n} (小区間の幅)とする。$
$それぞれの小区間で y=f(x) を何次式で近似するかによってそれぞれに対応する公式が得られる。$

$  台形公式 \hspace{2em} [a,b] を n 等分し、各小区間を直線で近似すると$
\[\int_{a}^{b}f(x)dx \fallingdotseq \cfrac{h}{2}\left\{y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_ {n-1}\right\}\hspace{6em}\]

$(証明)$

$各小区間の曲線上の2点 P_k(x_k, f(x_k)) , \ P_{k+1}(x_{k+1}, f(x_{k+1}) を直線(1次式) で近似すると$

$\hspace{2em} f\big(\cfrac{x_k + x_{k+1}}{2}\big) = \cfrac{1}{2}\left\{f(x_k) + f(x_{k+1})\right\}$

$だから、定理より$
\begin{eqnarray*} \int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx &=& \cfrac{x_{k+1}-x_k}{6}\{ f(x_k) + f(x_{k+1}) + 4 f(\cfrac{x_k+x_{k+1}}{2})\} \hspace{18em}\\ &=&\cfrac{x_{k+1}-x_k}{6}\left\{f(x_k) + f(x_{k+1}) + 4 \times \cfrac{1}{2}\{f(x_k) + f(x_{k+1})\}\right\}\\ &=&\cfrac{x_{k+1}-x_k}{2}\left\{ f(x_k) + f(x_{k+1}) \right\}\\ \end{eqnarray*}
したがって
\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)dx &=&\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx \hspace{29em}\\ &=&\sum_{k=0}^{n-1}\cfrac{x_{k+1}-x_k}{2}\left\{ f(x_k) + f(x_{k+1}) \right\}\\ &=&\cfrac{h}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(y_k + y_{k+1}) \\ &=&\cfrac{h}{2}\left\{y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_n)\right\}\\ \end{eqnarray*}

$\hspace{2em}シンプソンの公式(1/3公式)\qquad [a,b] を 2n 等分し、各小区間を放物線(2次式)で近似すると$
\[\int_{a}^{b}f(x)dx =\cfrac{h}{3}\left\{y_0 + y_{2n} + 2(y_2 + y_4 + \cdots + y_ {2n-2}) + 4(y_1 + y_3 + \cdots + y_{2n-1} )\right\}\]


$(証明)$

$定理より$
\begin{eqnarray*} \int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}f(x)dx &=& \cfrac{x_{2k}-x_{2k-2}}{6}\left\{f(x_{2k-2}) + f(x_{2k}) + 4 f(x_{2k-1})\right\}\hspace{12em}\\ &=&\cfrac{h}{3}(y_{2k-2} + 4 y_{2k-1} + y_{2k})\\ \end{eqnarray*} したがって
\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)dx &=&\sum_{k=1}^{n}\int_{x_{2k-2}}^{x_{2k}}f(x)dx \hspace{24em}\\ &=&\cfrac{h}{3}\sum_{k=1}^{n}(y_{2k-2} + 4 y_{2k-1} + y_{2k})\\ &=&\cfrac{h}{3}\left\{y_0 + y_{2n} + 2(y_2 + y_4 + \cdots + y_ {2n-2}) + 4(y_1 + y_3 + \cdots + y_{2n-1} )\right\}\\ \end{eqnarray*}
なお、それぞれの公式による誤差の評価は別の機会に回します。



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