MY MATH NOTE

\[定理 \qquad S=2\pi \int _a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx\]

　
$x=a\cos ^3t ,\ \ y=a\sin ^3t \ \ で表される図形を \ x\ 軸の回りに回転して$
$できる回転体の表面積を求めてみましょう。$

$この図形は右図のとおりで、アステロイド(星芒形)とよばれています。$

\begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{dx} &=&\cfrac{dy}{dt}\cdot \cfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}\\ \\ &=&\cfrac{3a\sin ^2t \cos t}{3a\cos ^2 t (-\sin t)}\\ \\ &=&-\cfrac{\sin t}{\cos t}\\ \\ &=&-\tan t \end{eqnarray*}
$よって \quad 0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{2} \quad で考えると$

$\qquad \sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+\tan ^2 t}=\cfrac{1}{\cos t}$

　
\begin{eqnarray*} S &=&4\pi \int _0^a y\sqrt{1+(y')^2}dx\\ \\ &=&4\pi \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^0 a\sin ^3 t \times \cfrac{1}{\cos t} \times 3a\cos ^2 t(-\sin t)dt\\ \\ &=&12\pi a^2 \int _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \sin ^4 t \cos tdt\\ \\ &=&12\pi a^2 \big[\cfrac{\sin ^5 t }{5}\big] _0 ^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\cfrac{12}{5}\pi a^2 \end{eqnarray*}

$例2$

　
$x=a(t-\sin t) ,\ \ y=a(1-\cos t) \ \ で表される図形を \ x\ 軸の回りに回転して$
$できる回転体の表面積を求めてみましょう。$

$この図形は右図のとおりで、サイクロイドとよばれています。$

\begin{eqnarray*} \cfrac{dy}{dx} &=&\cfrac{dy}{dt}\cdot \cfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}\\ \\ &=&\cfrac{a\sin t}{a(1-\cos t)}\\ \\ &=&\cfrac{\sin t}{1-\cos t}\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} & &\sqrt{1+(y')^2}\\ \\ &=&\sqrt{1+\Big(\cfrac{\sin t}{1-\cos t}\big)^2}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin ^2t}}{1-\cos t}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{2-2\cos t}}{1-\cos t}\\ \\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\cos t}}\\ \\ \end{eqnarray*}

　
\begin{eqnarray*} S &=&4\pi \int _0^{\pi a} y\sqrt{1+(y')^2}dx\\ \\ &=&4\pi \int _0^{\pi} a(1-\cos t) \times \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\cos t}} \times a(1-\cos t)dt\\ \\ &=&4\sqrt{2}\pi a^2 \int _0^{\pi} (1-\cos t)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}dt\\ \\ &=&4\sqrt{2}\pi a^2 \int _0^{\pi} \big(2\sin ^2 \cfrac{t}{2}\big)^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}dt\\ \\ &=&16\pi a^2 \int _0^{\pi} \sin ^3 \cfrac{t}{2}dt\\ \\ & & \cfrac{t}{2}=u とおくと　dt=2du\\ \\ &=&32\pi a^2 \int _0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\sin ^3 u du\\ \\ &=&32\pi a^2 \times \cfrac{2}{3} \\ \\ &=&\cfrac{64}{3}\pi a^2 \end{eqnarray*}
$\quad 最後の定積分の値の求め方は$正弦と余弦の累乗の定積分$をご覧ください。$

ページの先頭へ↑