正弦と余弦の累乗の定積分
$定理 \ 1$
\[正の整数 \ m,\ n\ のとき \quad I(m,n)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x \ \cos ^n xdx \quad とすると\]
$\hspace{5em} (1)\ \ I(m,n)=\cfrac{n-1}{m+n}I(m,n-2) \qquad (2)\ \ I(m,n)=\cfrac{m-1}{m+n}I(m-2,n)$
$(証明)$
$(1)\ \ 被積分関数を \ \ (\sin ^m x \ \cos ^{n-1})\cos x\ \ と分けて部分積分する。$
\begin{eqnarray*} I(m,n) &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}(\sin ^m x \ \cos ^{n-1}x)\cos x dx\\ &=&\Big[(\sin ^m x \ \cos ^{n-1}x)\sin x \Big]_0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}} -\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\Big \{m\sin ^{m-1} x \ \cos x \cdot \cos ^{n-1}x + \sin ^m x \cdot (n-1)\cos ^{n-2}x(-\sin x)\Big \}\sin x dx\\ &=&-\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\Big \{m\sin ^m x \ \cos ^n x - (n-1)\sin ^m x \ \sin ^2 x \ \cos ^{n-2}x \Big\}dx\\ &=&-m\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x \ \cos ^n x dx + (n-1)\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x(1-\cos ^2 x) \cos ^{n-2}x dx\\ &=&-m\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x \ \cos ^n x dx + (n-1)\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x \ \cos ^{n-2}x - (n-1)\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x\ \cos ^n x dx\\ \\ &=&-mI(m,n)+(n-1)I(m,n-2)-(n-1)I(m,n)\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{3em} (m+n)I(m,n)=(n-1)I(m,n-2)$
$\hspace{3em} \therefore \ \ I(m,n)=\cfrac{n-1}{m+n}I(m,n-2)$
$(2)\ \ 被積分関数を \ \ (\sin ^{m-1} x \ \cos ^n)\sin x \ \ と分けて部分積分する。$
$\qquad (1)と全く同様なので省略します。$
$(別解)$
$\quad I(m,n)=I(n,m)\ \ を示します。$
$\quad x=\dfrac{\pi}{2} -t \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} I(m,n) &=&\int _{\small{\dfrac{\pi}{2}}}^0\sin ^m (\dfrac{\pi}{2} -t)\ \cos ^n (\dfrac{\pi}{2} -t)(-dt)\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^m t\ \sin ^n tdt\\ &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^n t \cos ^m t dt\\ \\ &=&I(n,m)\\ \end{eqnarray*} $\quad \therefore \ \ I(m,n)=I(n,m)=\cfrac{m-1}{n+m}I(n,m-2)=\cfrac{m-1}{m+n}I(m-2,n)$
$なお、この定理を使って計算すると、最後は$
\[(ア)\ \ mもnも偶数のときは \hspace{6em} I(0,0)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}dx=\cfrac{\pi}{2}\] \[(イ)\ \ mは奇数、nは偶数のときは \hspace{3em}I(1,0)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin x dx=1\] \[(ウ)\ \ mは偶数、nは奇数のときは \hspace{3em} I(0,1)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos x dx=1\] \[(エ)\ \ mもnも奇数のときは \hspace{6em} I(1,1)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin x \ \cos x dx=\cfrac{1}{2}\]
$のいずれかになりますので$
\[I(m,n)= \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{(m-1)(m-3)\cdots (n-1)(n-3)\cdots }{(m+n)(m+n-2)\cdots }\cfrac{\pi}{2}\qquad (mとnは偶数のとき)\\ \\ \cfrac{(m-1)(m-3)\cdots (n-1)(n-3)\cdots }{(m+n)(m+n-2)\cdots }\hspace{3em} (mとnの少なくとも一方は奇数のとき)\\ \end{array} \right. \]
$これから、$mとnの少なくとも一方は奇数のときは、I(m,n)は有理数になる$ことがわかります。$
$また、(1),(2)の左辺は同じだから$
$\hspace{3em} \cfrac{n-1}{m+n}I(m,n-2)=\cfrac{m-1}{m+n}I(m-2,n)$
$\hspace{3em} \therefore \ \ I(m,n-2)=\cfrac{m-1}{n-1}I(m-2,n)$
$も導けます。$
$定理 \ 2 mが正の整数のとき$
\[I(m)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x dx \quad とおくと \quad I(m)=\cfrac{m-1}{m}I(m-2)\]
\[J(m)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^m x dx \quad とおくと \quad J(m)=\cfrac{m-1}{m}J(m-2)\]
$(証明)$
\[定理1\ (2)\ で \ n=0 \ \ とおくと \ \ I(m,0)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^m x dx=I(m) \ \ だから\] $\hspace{3em} I(m)=\cfrac{m-1}{m}I(m-2)$
\[定理1\ (1)\ で \ m=0 \ \ とおくと \ \ I(0,n)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos ^n x dx=J(n) \ \ だから\] $\hspace{3em} J(m)=\cfrac{m-1}{m}J(m-2)$
$なお、この定理を使って計算すると、mは2ずつ減って、最後は$
\[I(0)=J(0)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}dx=\cfrac{\pi}{2}\] \[I(1)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin x dx=1\] \[J(1)=\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\cos x dx=1\] $のいずれかになりますので$
\[I(m)=J(m)= \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{(m-1)(m-3)\cdots 3\cdot 1}{m(m-2)\cdots 4 \cdot 2}\cfrac{\pi}{2}\qquad (mは偶数のとき)\\ \\ \cfrac{(m-1)(m-3)\cdots 4\cdot 2}{m(m-2)\cdots 5 \cdot 3}\hspace{3em} (mは奇数のとき)\\ \end{array} \right. \]
$定理 \ 3 p,\ q\ \ が \ \ p>-1,\ q>-1\ \ のとき$
\[\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^p x\ \cos ^q x dx=\cfrac{1}{2}B\big(\small{\cfrac{p+1}{2},\cfrac{q+1}{2}}\big)\]
\[B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx \quad をベータ関数といいます。\] $\hspace{3em} 詳しくは($ ベータ関数)$を参考にしてください。$
$(証明)$
$\quad \sin ^2 x=t \ \ とおくと \ \ \sin x=t^{\small{\dfrac{1}{2}}} \ \ だから \ \ \sin ^{p-1} x=t^{\small{\dfrac{p-1}{2}}}$
$\quad 1-\cos ^2 x=t \ \ より \ \ \cos x=(1-t)^{\small{\dfrac{1}{2}}} \ \ だから \ \ \cos ^{q-1} x=(1-t)^{\small{\dfrac{q-1}{2}}}$
$\quad 2\sin x \ \cos x dx=dt \ \ だから$
\[\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^p x\ \cos ^q x dx\] \begin{eqnarray*} &=&\int _0^{\small{\dfrac{\pi}{2}}}\sin ^{p-1} x\ \cos ^{q-1} x \ \sin x \ \cos x dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\int _0^1 t^{\small{\dfrac{p-1}{2}}} (1-t)^{\small{\dfrac{q-1}{2}}}dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\int _0^1 t^{\small{\dfrac{p+1}{2}} {\large{-1}}} (1-t)^{\small{\dfrac{q+1}{2}} {\large{-1}}}dt\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}B(\cfrac{p+1}{2},\cfrac{q+1}{2})\\ \end{eqnarray*}
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