４次元空間における球の体積
原点中心、半径$r$の４次元球面は、４本の座標軸を考え、これらの軸上の互いに一次独立な
４個の基本ベクトルをもとに、４個の成分をもつ順序対
$\hspace{3em} D_4(r)=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=r^2\}$
で表されます。
$その内部は、 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \leqq r^2 より$
$\hspace{3em} x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqq r^2-x_4^2 , \ -r \leqq x_4 \leqq r と表されますから、その体積は$
\begin{eqnarray*} V_4(r)&=&\int \int \int \int _{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \leqq r^2}dx_1dx_2dx_3dx_4 \hspace{10em}\\ \\ &=&\int_{-r}^r \Big( \underbrace {\int \int \int _{x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqq r^2-x_4^2} dx_1dx_2dx_3 }_{\substack{半径 \sqrt{r^2-x_4^2}の球の体積}} \Big)dx_4 \\ \\ &=&\int_{-r}^r V_3(\sqrt{r^2-x_4^2})dx_4 \hspace{9em}\\ \\ &=&\int_{-r}^r \cfrac{4}{3} \pi (\sqrt{r^2-x_4^2})^3 dx_4 \\ \\ &=&\cfrac{4}{3}\pi \int_{-r}^r (r^2-x_4^2) \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4 \\ \\ &=&\cfrac{4}{3}\pi r^2 \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4+\cfrac{4}{9}\pi \int_{-r}^r x_4(-3x_4) \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4\\ \end{eqnarray*}
\[第２項で (-3x_4) \sqrt{r^2-x_4^2} = \big( (r^2-x_4^2)^{\frac{3}{2}}\big)' \quad に注意して \hspace{5em}\] \begin{eqnarray*} 第２項 &=&\big[x_4( \sqrt{r^2-x_4^2})^3 \big]_{-r}^r - \int_{-r}^r (\sqrt{r^2-x_4^2})^3 dx_4 \hspace{8em}\\ \\ &=&- \int_{-r}^r (\sqrt{r^2-x_4^2})^3 dx_4 \\ \end{eqnarray*} したがって
\begin{eqnarray*} V_4(r) &=&\cfrac{4}{3}\pi r^2 \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4 -\cfrac{1}{3} \times \cfrac{4}{3}\pi \int_{-r}^r (\sqrt{r^2-x_4^2})^3 dx_4 \hspace{2em}\\ \\ &=&\cfrac{4}{3}\pi r^2 \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4 -\cfrac{1}{3} V_4(r) \hspace{8em}\\ \end{eqnarray*} \[\cfrac{4}{3} V_4(r)=\cfrac{4}{3}\pi r^2 \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x_4^2} dx_4 \hspace{15em}\] したがって
\begin{eqnarray*} V_4(r)&=&\pi r^2 \times \cfrac{1}{2}\pi r^2 \hspace{18em}\\ &=& \cfrac{1}{2} \pi ^2 r^4 \\ \end{eqnarray*}
これが、４次元空間における球の体積公式です。！！
$r^4 \ に比例していることがわかります。$
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