３次元空間における球の体積
$ 半径 \ r \ の球の体積 \ V=\cfrac{4}{3} \ \pi r^3 \ は、直径に垂直な平面で切った断面が円になることから、$
$積分を使って簡単に求めることができるが、n次元に拡張するために、きちんと定式化しましょう。$
$\quad 原点中心、半径 \ r \ の球面は$
$\hspace{2em} D_3(r)=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1^2+x_2^2+x_3^2=r^2\} $
$だから、その内部は x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqq r^2 より x_1^2+x_2^2 \leqq r^2-x_3^2 , \quad -r \leqq x_3 \leqq r$
よって、その体積は
\begin{eqnarray*} V_3(r)&=&\int \int \int _{x_1^2+x_2^2+x_3^2 \leqq r^2}dx_1dx_2dx_3 \hspace{16em}\\ \\ &=&\int_{-r}^r \Big( \underbrace {\int \int _{x_1^2+x_2^2 \leqq r^2-x_3^2} dx_1dx_2 }_{\substack{半径 \sqrt{r^2-x_3^2}の円の面積}} \Big)dx_3 \\ \\ &=&\int_{-r}^r V_2(\sqrt{r^2-x_3^2})dx_3 \hspace{8em}\\ \\ &=&\int_{-r}^r \pi(r^2-x_3^2)dx_3 \hspace{9em}\\ \\ &=& \cfrac{4}{3} \ \pi r^3\\ \end{eqnarray*}
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