斜回転による回転体の体積


1 はじめに

 

 $回転体の体積を求める際の回転軸は、$
$教科書ではx軸、あるいはy軸です。$
$直線 y=x \ は参考書に載っていますので、$
$ここでは、直線 l:y=ax+b \ を回転の軸$
$とした(これを斜回転といいます)曲線$
$ \ y=f(x)\ の回転体の体積を求めてみましょう。$


2 方法1 回転軸に垂直な平面でスライスする方法

 

$(1)\ \ dx\ と \ dt\ の関係$

$曲線上の2点P(x,f(x))とP'(x+dx,f(x+dx))から$
$l\ に下ろした垂線の足をそれぞれH,H'とする。$
$このとき、x軸上の微小量dxに対応した直線 \ l\ 上の$
$微小量 \ dt=HH'\ を求めて見よう。$

$\quad f(x+dx) \fallingdotseq f(x)+f'(x)dx  だから$

$\quad \vec{PP'}=(x+dx,f(x)+f'(x)dx)-(x,f(x))=(dx,f'(x)dx)$

$直線\ l\ の方向ベクトルは \ (1,a)\ だから、単位ベクトルは  \vec{u}=\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}(1,a)$
$よって$
\begin{eqnarray*} dt&=&|\vec{HH'}|\\ &=&\vec{PP'}\cdot \vec{u}\\ &=&\cfrac{1}{\sqrt{1+a^2}} \big(dx+af'(x)\ dx\big)\\ \\ &=&\cfrac{1+af'(x)}{\sqrt{1+a^2}}\ dx\\ \end{eqnarray*}
$これが \ dx \ と \ dt\ の関係です。!!$

$当然x軸とt軸の分割の幅は異なりますし、dxが等分割であってもdtは一定になるとはかぎりません。$


$\quad dx\ と \ dt\ の関係 \hspace{2em} dt=\cfrac{1+af'(x)}{\sqrt{1+a^2}}dx$



$(2)\ \ 回転体の体積$

 

$PHは点P(x,f(x))と直線 \ ax-y+b=0 \ との距離だから$

$\qquad PH=\cfrac{|ax-f(x)+b|}{\sqrt{1+a^2}}$

$直線P'H'上に \ PQ // HH' となるように点Qをとり、$
$(区分求積法の考え方です)長方形PHH'Q を直線 \ l\ の$
$まわりに一回転させると、回転体は円柱だから$
\begin{eqnarray*} dV&=&\pi\ PH^2\ HH'\\ &=&\pi\ \cfrac{\big(ax-f(x)+b\big)^2}{1+a^2}\ \cfrac{1+af'(x)}{\sqrt{1+a^2}}dx\\ &=&\cfrac{\pi}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}\big(f(x)-ax-b\big)^2\big(1+af'(x)\big)dx\\ \end{eqnarray*}

$\quad 回転体の体積要素$

$\hspace{5em} dV=\cfrac{\pi}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}\big(f(x)-ax-b\big)^2\big(1+af'(x)\big)dx$



$(3)\ \ 例題$

$放物線 y=-x^2+3 \ と直線 l\ :\ y=-x-3 \ で囲まれた領域をこの直線の回りに回転してできる$
$回転体の体積を求めてみましょう。$

 

$放物線と直線の交点は$
$-x^2+3=-x-3  より x^2-x-6=0 \ を解いて$
$\qquad x=-2,\ 3$

$直線 y=-x-3 \ に垂直な直線が、放物線に接する$
$ときの接点Tの座標は、垂直な直線の傾きが \ 1\ だから$
$\quad y'=-2x=1\ より \  x=-\cfrac{1}{2} \ \ \therefore T(-\cfrac{1}{2},-\cfrac{5}{2})$

$放物線上の点P(x,f(x))とP'(x+dx,f(x+dx))から$
$直線 \ l\ に下ろした垂線の足をH,H'とすると$

$\quad \vec{PP'}=(dx,f'(x)dx)=(dx,-2xdx)$
$直線lの方向ベクトルは(1,-1)だから、単位ベクトルは \vec{u}=(\cfrac{1}{\sqrt{2}},-\cfrac{1}{\sqrt{2}})$
$\quad dt=|\vec{HH'}|=\vec{PP'}\cdot \vec{u}=(dx,-2xdx)\cdot (\cfrac{1}{\sqrt{2}},-\cfrac{1}{\sqrt{2}})=\cfrac{1+2x}{\sqrt{2}}dx$

$また  PQ=(-x^2+3)-(-x-3)=-x^2+x+6  だから$

$\quad PH=\cfrac{PQ}{\sqrt{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(-x^2+x+6)$

$直線P'H'上に \ PQ // HH' となるように点Qをとり、長方形PHH'Q を直線 \ l\ の$
$まわりに一回転させると、回転体は円柱だから$
\begin{eqnarray*} dV&=&\pi\ PH^2\ HH'\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\ (-x^2+x+6)^2 \ (1+2x)dx\\ \end{eqnarray*}
$求める回転体の体積は、外側の放物線TRPの部分の回転体の体積V_1から、$
$内側の放物線TIの部分の回転体の体積V_2を引けばよいから$
\begin{eqnarray*} V&=&V_1-V_2\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-\cfrac{1}{2}} ^3 (-x^2+x+6)^2 (2x+1)dx - \cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-\cfrac{1}{2}} ^{-2} (-x^2+x+6)^2 (2x+1)dx\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-\cfrac{1}{2}} ^3 (-x^2+x+6)^2(2x+1)dx + \cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-2} ^{-\cfrac{1}{2}} (-x^2+x+6)^2(2x+1)dx\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-2} ^3 (-x^2+x+6)^2(2x+1)dx\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{4}\int _{-2} ^3 (2x^5-3x^4-24x^3+13x^2+84x+36)dx\\ &=&\cfrac{625\sqrt{2}}{12}\pi\\ \end{eqnarray*}


3 方法2 傘型積分による方法


$(1)\ \ 傘型積分とは$

$図1のように、曲線 \ y=f(x) \ 上の点 \ P(x,f(x))\ を通りy軸に平行な直線が直線 \ l\ と交わる点を$
$\ Q(x,ax+b)\ とし、2点\ R(x+dx,ax+b),S(x+dx,f(x)\ をとって、長方形PQRSを考える。$

$\hspace{8em}$
$この長方形を直線 \ l\ のまわりに一回転させると、辺PS,QRの部分が影響してきれいな円錐にならない。$
$そこで、図2のように、この長方形と同じ面積の平行四辺形PQQ'P'を考える。$

 

$この平行四辺形PQQ'P'を直線lの周りに一回転$
$させると傘のような立体(厚みのある円錐)が$
$得られる。$

$直線 \ l\ とx軸のなす角を\theta とすると$
$\tan \theta =a  だから$
$\cos ^2 \theta =\cfrac{1}{1+\tan ^2 \theta }=\cfrac{1}{1+a^2}$

$\quad PH=PQ\cos \theta =\cfrac{PQ}{\sqrt{1+a^2}}$
$\quad 底面の円周は l'=2\pi \ PH$
$\quad 円錐の側面積は$
\begin{eqnarray*} S&=&\pi PQ^2 \times \cfrac{l'}{2\pi PQ}\\ &=&\cfrac{1}{2}PQ \cdot l'\\ &=&\cfrac{1}{2}PQ \cdot 2\pi \ PH\\ &=&\pi PQ\cdot PH \\ &=&\cfrac{\pi PQ^2}{\sqrt{1+a^2}}\\ &=&\cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\{f(x)-ax-b\}^2\\ \end{eqnarray*} $したがって この円錐の微小体積dVは、厚みがdxであることに注意して$
$\quad dV=Sdx=\cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\{f(x)-ax-b\}^2dx$

$この求め方を傘型積分といいます。少しわかりづらいのですが、この方法の優れている点は$
$被積分関数の次数が上がっていないことです。$

$\quad 傘型積分による回転体の体積要素$

$\hspace{5em} dV=\cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\{f(x)-ax-b\}^2dx$



$(2)\ \ 傘型積分の解釈$

 

$平行四辺形PQQ'P'を直線 \ l\ の周りに一回転してできる$
$立体(厚みのある円錐)の体積は、底辺と高さの等しい$
$長方形TQQ'T'を回転してできる円柱の体積に等しい。$
$すると$
$上の図1のx軸方向の線分PSと図2の直線 \ l\ に平行な$
$線分PP'の長さの関係は$

$\qquad PP'\cos \theta =PS  だから$
$\qquad PP'=\cfrac{PS}{\cos \theta }=\cfrac{dx}{\cos \theta}$
$したがって$
\begin{eqnarray*} dV&=&\pi TQ^2\ QQ'\\ &=&\pi (PQ\cos \theta )^2\ PP'\\ &=&\pi PQ^2 \cos ^2\theta \times \cfrac{dx}{\cos \theta}\\ &=&\pi PQ^2 \cos \theta \ dx\\ &=&\cfrac{\pi PQ^2}{\sqrt{1+a^2}}\ dx\\ &=&\cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\{f(x)-ax-b\}^2\ dx
\end{eqnarray*}
$となって、傘型積分の公式に一致しますが、これが傘型積分による求め方の本質です。$


$(3)\ \ 例題$

$放物線 y=-x^2+3\ と直線 y=-x-3\ で囲まれた領域をこの直線の回りに回転してできる$
$回転体の体積を傘型積分で計算してみましょう。$

 

$\quad a=1$
$\quad PQ=-x^2+3-(-x-3)=-x^2+x+6$

$したがって$

$\qquad dV=\cfrac{\pi}{\sqrt{2}}(-x^2+x+6)^2dx$
\begin{eqnarray*} V&=&\int _{-2} ^3 \cfrac{\pi}{\sqrt{2}}(-x^2+x+6)^2dx\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}\pi}{2}\int _{-2} ^3 (x^4-2x^3-11x^2+12x+36)dx\\ &=&\cfrac{625\sqrt{2}}{12}\pi\\ \end{eqnarray*}
$積分計算がだいぶ楽になりました。$


$なお、被積分関数を$
\begin{eqnarray*} (-x^2+x+6)^2&=&(x+2)^2(x-3)^2\\ &=&(x-3+5)^2(x-3)^2\\ &=&\{(x-3)^2+10(x-3)+25\}(x-3)^2\\ &=&(x-3)^4+10(x-3)^3+25(x-3)^2\\ \end{eqnarray*} $と展開して積分する方法もあります。$


4 2つの求め方による回転体の体積が一致する理由


 

$曲線 \ y=f(x)\ と直線 \ l:y=ax+b\ の交点の$
$x座標を\ \alpha \ と \ \beta \quad (\alpha < \beta )\ \ とすると$
$\alpha \ と \ \beta \ は f(x)-ax-b=0 \ の解であるから$

$\quad f(\alpha)-a\alpha -b=0 , \quad f(\beta)-a\beta -b=0$

$dV_1=\cfrac{\pi}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}\big(f(x)-ax-b\big)^2\big(1+af'(x)\big)dx$

$dV_2=\cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\big(f(x)-ax-b\big)^2dx$

$この2つの差をとると$

$\hspace{3em}dV_1-dV_2$
\begin{eqnarray*} &=&\cfrac{\pi}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}\big(f(x)-ax-b\big)^2\big(1+af'(x)\big)dx- \cfrac{\pi}{\sqrt{1+a^2}}\big(f(x)-ax-b\big)^2dx\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}(f(x)-ax-b)^2\{(1+af'(x)-(1+a^2)\}dx\\ \\ &=&\cfrac{\pi a}{\big(1+a^2\big)^{\dfrac{3}{2}}}(f(x)-ax-b)^2(f'(x)-a)dx\\ \end{eqnarray*}
$f'(x)-a\ の不定積分は \ f(x)-ax-b \ とおけることに注意して、部分積分を行うと$
\begin{eqnarray*} I&=&\int _{\alpha} ^{\beta} (f(x)-ax-b)^2(f'(x)-a)dx\\ \\ &=&\big[(f(x)-ax-b)^3\big] _{\alpha} ^{\beta} -2\int _{\alpha} ^{\beta} (f(x)-ax-b)^2(f'(x)-a)dx\\ \\ &=& -2\int _{\alpha} ^{\beta} (f(x)-ax-b)^2(f'(x)-a)dx\\ \\ &=&-2I\\ \end{eqnarray*} $\therefore I=0$

$したがって V_1=V_2 \ となり、2つの求め方による回転体の体積は一致することがわかりました。$


$この証明方法がわからず、長い間不思議に感じていました。$
$もちろん参考書や専門書にも記述はありません。$
$つい最近、2018年の東北大学の入試問題を解いている中で、ふとアイデアが浮かびました$
$ので、この原稿を書きました。$
$気がつけば非常に簡単なことでした。!!!$




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