正規母集団の標本平均



$定理1$
$\quad 確率変数Xが正規分布N(\mu,\sigma ^2)にしたがうとき、z=aX+b \ \ (a \ne 0) \ はN(a\mu+b,a^2\sigma ^2)にしたがう。$


$証明$

(i)$a > 0 のとき$

$\quad z_1 < z_2 \ \ に対して$
\begin{eqnarray*} P &=&p(z_1 \leqq z \leqq z_2)\\ &=&p\bigl(\cfrac{z_1-b}{a} \leqq x \leqq \cfrac{z_2-b}{a}\bigr)\\ \end{eqnarray*} \[\quad =\int _{\dfrac{z_1-b}{a}}^{\dfrac{z_2-b}{a}} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dx\] $\quad z=ax+b \ \ とおくと$
\[P=\int _{z_1}^{z_2} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \ \cfrac{1}{a} \ \ e^{-\dfrac{\bigl(\dfrac{z-b}{a}-\mu \bigr)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dz\] \[\quad =\int _{z_1}^{z_2} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}a \sigma} e^{-\dfrac{\bigl(z-(a\mu +b)\bigr)^2}{2a^2 \sigma ^2}} \ \ dz\]
$これは、Zの確率密度関数がN(a\mu +b,a^2\sigma ^2)であることを示している。$

(i)$a < 0 のとき$

$\quad z_1 < z_2 \ \ に対して \quad \cfrac{z_2-b}{a} \leqq x \leqq \cfrac{z_1-b}{a} \ \ だから$
\begin{eqnarray*} P &=&p(z_1 \leqq z \leqq z_2)\\ &=&p\bigl(\cfrac{z_2-b}{a} \leqq x \leqq \cfrac{z_1-b}{a}\bigr)\\ \end{eqnarray*} \[\quad =\int _{\dfrac{z_2-b}{a}}^{\dfrac{z_1-b}{a}} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dx\] $z=ax+b \ \ とおくと$
\[P=\int _{z_2}^{z_1} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \ \cfrac{1}{a}\ \ e^{-\dfrac{\bigl(\dfrac{z-b}{a}-\mu \bigr)^2}{2\sigma ^2}} \ \ dz\] \[\quad =\int _{z_1}^{z_2} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}(-a \sigma)} e^{-\dfrac{\bigl(z-(a\mu +b)\bigr)^2}{2(-a \sigma) ^2}} \ \ dz\] $これはZの確率密度関数がN(a\mu +b,a^2\mu ^2)であることを示している。$


$定理1でb=0\ \ とおき、あわせて$　 ２つの確率変数の和$をつかうと次の定理2が導けます。$

$定理2$
$\quad 互いに独立な確率変数X,\ Yがそれぞれ正規分布 \ N(\mu_x,\sigma _x ^2),\ N(\mu_y,\sigma _y ^2) \ にしたがうとき、$
$\quad z=aX+bY \ \ (a,bは定数) \ は \ N(a\mu _x+b\mu _y,a^2\sigma _x^2+b^2\sigma _y^2) \ にしたがう。$



$定理3$
$\quad n個の互いに独立な確率変数X_1,X_2,\cdots ,X_nがともに正規分布N(\mu,\sigma ^2)にしたがうとき、$
$\quad Z_{n}=\cfrac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}=\cfrac{1}{n}X_1 +\cfrac{1}{n}X_2 + \cdots +\cfrac{1}{n}X_n\ \ は\ \ N(\mu,\cfrac{\sigma ^2}{n})\ にしたがう。$

$(証明)$

$Z_{2}=\cfrac{X_1+X_2}{n}=\cfrac{1}{n}X_1+ \cfrac{1}{n}X_2 \ \ は \ N(\cfrac{2}{n}\mu,\cfrac{2}{n^2}\sigma ^2)\ にしたがう。$

$Z_{3}=\cfrac{X_1+X_2+X_3}{n}=Z_{2}+\cfrac{1}{n}X_3 \ \ は$
$\qquad 平均　\cfrac{2}{n}\mu +\cfrac{1}{n}\mu=\cfrac{3}{n}\mu , \quad 分散　\cfrac{2}{n^2}\sigma ^2+\cfrac{1}{n^2}\sigma ^2=\cfrac{3}{n^2}\sigma ^2 \ \ だから \quad N(\cfrac{3}{n}\mu,\cfrac{3}{n^2}\sigma ^2)\ \ にしたがう。$

$一般に$

$Z_{n}=\cfrac{X_1+X_2+\cdot +X_n}{n}=\cfrac{1}{n}X_1 +\cfrac{1}{n}X_2 + \cdots +\cfrac{1}{n}X_n \ \ は\ \ N(\cfrac{n}{n}\mu,\cfrac{n}{n^2}\sigma ^2)\ \ すなわち \ \ N(\mu,\cfrac{\sigma ^2}{n})\ \ にしたがう。$


$これらの定理より。次のことがいえます。$

$正規母集団の標本平均$
$\qquad 平均\mu,\ \ 分散\sigma ^2 \ \ の正規母集団 \ \ N(\mu,\sigma ^2)\ \ からとったn個の標本平均 \overline{X} \ は$
$\qquad 平均\mu,\ \ 分散\cfrac{\sigma ^2}{n} \ の正規分布 \ \ N(\mu,\cfrac{\sigma ^2}{n})\ \ にしたがう。$


$ここで大切なポイントは、nが2,3などの小さい値でも標本平均は必ず正規分布になることです。$



　

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