周期数列の分数型漸化式
$これは、2019年度岡山大学前期（理系）の入試問題2の漸化式を一般化したものです。$
$設問は($岡山大学(理系)2019年前期 問題2$)を参照してください。$
$漸化式 x_{n+2}=\cfrac{p+x_{n+1}}{x_n} \ \ で定まる数列\{x_n\}の周期性について$
(i)$\ \ p=0 \ \ のとき$
$\quad x_{n+2}=\cfrac{x_{n+1}}{x_n} \ \ は$
$\quad x_{n+3}=\cfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=\cfrac{ \dfrac{ x_{n+1} }{x_n} }{ x_{n+1} }=\cfrac{1}{x_n}$
$\quad \therefore x_{n+6}=\cfrac{1}{x_{n+3}}=x_n \ \ となって、\{x_n\}は周期6の周期数列であることがわかります。$
(ii)$\ \ p=1 \ \ のとき$
$\quad x_{n+2}=\cfrac{1+x_{n+1}}{x_n} \ \ は$
\begin{eqnarray*} x_{n+5} &=&\cfrac{1+x_{n+4}}{x_{n+3}}\\ \\ &=&\cfrac{1+ \dfrac{1+ x_{n+3} }{x_{n+2}} }{ x_{n+3} }\\ \\ &=&\cfrac{x_{n+2}+1+x_{n+3}}{ x_{n+2}x_{n+3} }\\ \\ &=&\cfrac{1+x_{n+2}}{x_{n+2}x_{n+3} }+\cfrac{x_{n+3}}{ x_{n+2}x_{n+3} }\\ \\ &=&\cfrac{1+x_{n+2}}{x_{n+1}} \times \cfrac{x_{n+1}}{x_{n+2}x_{n+3}}+\cfrac{1}{x_{n+2} }\\ \\ &=&x_{n+3} \times \cfrac{x_{n+1}}{x_{n+2}x_{n+3}}+\cfrac{1}{x_{n+2} }\\ \\ &=&\cfrac{x_{n+1}}{x_{n+2}}+\cfrac{1}{x_{n+2} }\\ \\ &=&\cfrac{1+x_{n+1}} {x_{n+2}}\\ \\ &=&\cfrac{1+x_{n+1}}{x_n} \times \cfrac{x_n}{x_{n+2}}\\ \\ &=&x_{n+2} \times \cfrac{x_n}{x_{n+2}}\\ \\ &=&x_n\\ \end{eqnarray*}
$x_{n+5}=x_n だから\ \ \{x_n\}\ は周期5の周期数列です。$
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