岡山大学（理系）2019年前期 問題2
$a,bを正の数とする。数列\{x_n\}を$
$\qquad x_1=a,\ \ x_2=b,\ \ x_{n+2}=\cfrac{1+x_{n+1}}{x_n}\ \ (n=1,2.3,\cdots)$
$により定める。以下の問いに答えよ。$
$(1) \quad x_6, \ x_7 をa,bを用いて表せ。$
$(2) \quad x_n (n=1,2,3,\cdots )がすべて自然数になるようなa,bの組をすべて求めよ。$
$分数型隣接3項間の$この漸化式は周期5の周期数列$となる特殊なものですが、これを知らなくても$
$問1から、周期は5ではないかと予想できます。$
(1)
$\quad x_3=\cfrac{1+x_2}{x_1}=\cfrac{1+b}{a}$
$\quad x_4=\cfrac{1+x_3}{x_2}=\cfrac{1+\dfrac{1+b}{a}}{b}=\cfrac{a+1+b}{ab}$
$\quad x_5=\cfrac{1+x_4}{x_3}=\cfrac{1+\dfrac{a+1+b}{ab}}{\dfrac{1+b}{a}}=\cfrac{ab+a+1+b}{b(1+b)}=\cfrac{(a+1)(b+1)}{b(1+b)}=\cfrac{1+a}{b}$
$\quad x_6=\cfrac{1+x_5}{x_4}=\cfrac{1+\dfrac{1+a}{b}}{\dfrac{a+1+b}{ab}}=\cfrac{a(b+1+a)}{a+1+b}=a=x_1$
$\quad x_7=\cfrac{1+x_6}{x_5}=\cfrac{1+a}{\dfrac{1+a}{b}}=b=x_2$
(2)
$(1)より\ \{x_n\}は\ \ a,b,\cfrac{1+b}{a},\cfrac{a+1+b}{ab},\cfrac{1+a}{b},a,b,\cdots と繰り返されるから\{x_n\}の異なる項は5個しかない。$
$しかもその5個はa,bについて互いに対称な式を含んでいるので$
$\qquad a \geqq b \hspace{20em}(1)$
$で考えてよい。$
$\quad x_3=\cfrac{1+b}{a} \ \ は自然数だから$
$\qquad 1+b \geqq a \hspace{19em}(2)$
$(1)(2)より a-1 \leqq b \leqq a \hspace{14em}(3)$
$\quad x_4=\cfrac{a+1+b}{ab}\ \ が自然数より$
$\qquad a+1+b \geqq ab$
$\qquad ab-a-b \leqq 1$
$\qquad (a-1)(b-1) \leqq 2 \hspace{16em}(4)$
$x_1=a,\ x_2=b \ が自然数だから \ (a-1)(b-1)\ は自然数$
$よって、a-1 \ は \ 0,1,2 \ のいずれかである。$
(i)$\ \ a=1 \ \ のとき$
$\quad (4)より \ bは任意の自然数でよいが、(3)より 0 \leqq b \leqq 1 \ \ だから b=1$
(ii)$\ \ a=2 \ \ のとき$
$\quad (4)より \ \ b-1 \leqq 2 \quad \therefore \ b \leqq 3 \qquad (3)より 1 \leqq b \leqq 2 \ \ だから b=1,2$
(iii)$\ \ a=3 \ \ のとき$
$\quad (4)より \ \ 2(b-1) \leqq 2 \quad \therefore \ b \leqq 2 \qquad (3)より 2 \leqq b \leqq 3 \ \ だから b=2$
(i)(ii)(iii)$より、 (a,b)=(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)$
$a,bについて互いに対称だったから$
$\qquad (a,b)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)$
$このうち、(2,2)\ は \ x_3=\cfrac{1+a}{b}=\cfrac{3}{2} \ \ となり自然数でない。$
$他はどれもx_3,x_4,x_5が自然数となる。$
$したがって、求めるa,bの組は\quad (a,b)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2) \ \ の5組である。$
$なお、漸化式 x_{n+2}=\cfrac{p+x_{n+1}}{x_n} \ \ で定まる数列\{x_n\}の周期性については$
周期数列の分数型漸化式$を参照してください。$
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